-8 Uma régua no referencial S^{\prime} faz um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x^{\prime}. Se a régua está se movendo paralelamente ao cixo x do referencial S com uma velocidade de 0,90 c em relação ao referencial S, qual é o comprimento da régua no referencial S ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • A régua está em repouso no referencial S^{\prime} e faz um ângulo de \;30^\circ\; com o eixo x^{\prime}.
  • O referencial S^{\prime} (ou seja, a régua) move-se em relação a S com velocidade \;v=0,90c\; na direção paralela ao eixo x de S.
  • O que nos pedem: o comprimento da régua medido no referencial S (ou seja, o comprimento que um observador em S obtém medindo as posições das duas extremidades ao mesmo tempo em S).
Observação importante (necessária para resolver): como o enunciado não deu um valor numérico do comprimento no referencial S^{\prime}, vamos denotar por \;L_0\; o comprimento próprio da régua — isto é, o comprimento medido no referencial S^{\prime} onde a régua está em repouso. Nosso objetivo será expressar L (comprimento em S) em função de L_0, de \theta'=30^\circ e de v=0,90c.

Passo 2

Plano de ataque (sem matemática pesada ainda, só clareza): para medir o comprimento em S precisamos da distância entre as posições das duas extremidades medidas ao mesmo instante t em S. Vamos relacionar as coordenadas entre S^{\prime} e S usando a transformação de Lorentz e escolher eventos correspondentes às posições das extremidades no mesmo tempo em S. Depois calculamos a distância espacial entre essas posições em S. Bora para as fórmulas.

Passo 3

Recordando a transformação de Lorentz (de S^{\prime} para S), quando S^{\prime} se move com velocidade v ao longo de x em relação a S, temos:
x=\gamma\bigl(x'+v t'\bigr),
t=\gamma\bigl(t'+\tfrac{v x'}{c^{2}}\bigr),
y=y',
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\qquad \beta=\dfrac{v}{c}.
Aqui \;x',y',t'\; são coordenadas no referencial S' (repouso da régua) e \;x,y,t\; são as coordenadas em S.

Passo 4

Posições das extremidades no referencial da régua S' (onde ela está em repouso). Tomemos as duas extremidades A e B dadas por:
  • extremidade A: \;x'_A=0,\;y'_A=0;; (escolhemos a origem em A)
  • extremidade B: \;x'_B=L_0\cos\theta',\;y'_B=L_0\sin\theta'\;,
    e ambas são medidas num mesmo instante t' em S' (por isso L_0 é o comprimento próprio). Aqui \theta'=30^\circ.

Passo 5

Agora queremos as posições das extremidades em S no mesmo instante t. Como as transformações relacionam t e t', vamos escrever a condição "mesmo t em S" e encontrar os t' correspondentes.
Pela transformação do tempo:
t=\gamma\bigl(t'_A+\tfrac{v x'_A}{c^{2}}\bigr)=\gamma t'_A\quad\text{(porque }x'_A=0\text{)},
logo
t'_A=\dfrac{t}{\gamma}.
Para B:
t=\gamma\bigl(t'_B+\tfrac{v x'_B}{c^{2}}\bigr)=\gamma\Bigl(t'_B+\tfrac{v L_0\cos\theta'}{c^{2}}\Bigr),
logo
t'_B=\dfrac{t}{\gamma}-\dfrac{v L_0\cos\theta'}{c^{2}}.
Agora aplicamos a transformação do espaço para cada extremidade:
Para A:
x_A=\gamma\bigl(x'_A+v t'_A\bigr)=\gamma\bigl(0+v\cdot\tfrac{t}{\gamma}\bigr)=v t,
y_A=y'_A=0.
Para B:
x_B=\gamma\bigl(x'_B+v t'_B\bigr) =\gamma\Bigl(L_0\cos\theta'+v\bigl(\tfrac{t}{\gamma}-\tfrac{v L_0\cos\theta'}{c^{2}}\bigr)\Bigr).
Desenvolvendo:
x_B=\gamma L_0\cos\theta' + v t - \gamma \dfrac{v^{2}}{c^{2}} L_0\cos\theta'.
Agrupando os termos com L_0\cos\theta':
x_B = v t + \gamma L_0\cos\theta'\Bigl(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\Bigr).
Como 1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}=\dfrac{1}{\gamma^{2}}, isto simplifica para
x_B = v t + \dfrac{L_0\cos\theta'}{\gamma}.
E
y_B=y'_B=L_0\sin\theta'.

Passo 6

Agora calculamos as separações espaciais entre B e A no mesmo instante t em S:
\Delta x = x_B-x_A = \Bigl(v t + \dfrac{L_0\cos\theta'}{\gamma}\Bigr) - v t = \dfrac{L_0\cos\theta'}{\gamma},
\Delta y = y_B-y_A = L_0\sin\theta'.
A distância (comprimento da régua) medida em S é a norma dessas componentes:
L=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} = L_0\sqrt{\dfrac{\cos^{2}\theta'}{\gamma^{2}}+\sin^{2}\theta'}.
Essa é a fórmula geral: a componente paralela ao movimento sofre contração ( 1/\gamma), a componente perpendicular não, e a combinação dá o comprimento resultante.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos: \theta'=30^\circ, logo \cos^{2}\theta'=\tfrac{3}{4} e \sin^{2}\theta'=\tfrac{1}{4}. Para v=0,90c temos \beta=0,90 e
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0,90^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{0,19}}\approx 2,294.
Calculamos as parcelas:
\dfrac{\cos^{2}\theta'}{\gamma^{2}}=\dfrac{3/4}{(2,294)^{2}}\approx\dfrac{0,75}{5,262}\approx 0,1425,
\sin^{2}\theta'=\tfrac{1}{4}=0,25.
Somando e extraindo raiz:
\sqrt{0,1425+0,25}=\sqrt{0,3925}\approx 0,6266.
Portanto
L\approx 0,6266\,L_0\approx 0,627\,L_0.

Passo 8

Interpretação rápida e ânimo: a régua fica significativamente encurtada em S porque sua componente ao longo de x sofre forte contração (v =0,9c é bem alta). A componente perpendicular fica igual, mas a combinação dá cerca de 62{,}7\% do comprimento próprio — não é um número óbvio sem conta, então você fez bem em pedir a conta passo a passo. Força aí, já já isso vira treino!

Resposta

L \approx 0,6266\,L_0 \approx 0,627\,L_0

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