-8 Uma régua no referencial
faz um ângulo de
com o eixo
. Se a régua está se movendo paralelamente ao cixo
do referencial
com uma velocidade de
em relação ao referencial
, qual é o comprimento da régua no referencial
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- A régua está em repouso no referencial
e faz um ângulo de com o eixo . - O referencial
(ou seja, a régua) move-se em relação a com velocidade na direção paralela ao eixo de . - O que nos pedem: o comprimento da régua medido no referencial
(ou seja, o comprimento que um observador em obtém medindo as posições das duas extremidades ao mesmo tempo em ).
Observação importante (necessária para resolver): como o enunciado não deu um valor numérico do comprimento no referencial
, vamos denotar por
o comprimento próprio da régua — isto é, o comprimento medido no referencial
onde a régua está em repouso. Nosso objetivo será expressar
(comprimento em
) em função de
, de
e de
.
Passo 2
Plano de ataque (sem matemática pesada ainda, só clareza): para medir o comprimento em
precisamos da distância entre as posições das duas extremidades medidas ao mesmo instante
em
. Vamos relacionar as coordenadas entre
e
usando a transformação de Lorentz e escolher eventos correspondentes às posições das extremidades no mesmo tempo em
. Depois calculamos a distância espacial entre essas posições em
. Bora para as fórmulas.
Passo 3
Recordando a transformação de Lorentz (de
para
), quando
se move com velocidade
ao longo de
em relação a
, temos:
onde
é o fator de Lorentz definido por
Aqui
são coordenadas no referencial
(repouso da régua) e
são as coordenadas em
.
Passo 4
Posições das extremidades no referencial da régua
(onde ela está em repouso). Tomemos as duas extremidades A e B dadas por:
- extremidade A:
;; (escolhemos a origem em A) - extremidade B:
,
e ambas são medidas num mesmo instanteem (por isso é o comprimento próprio). Aqui .
Passo 5
Agora queremos as posições das extremidades em
no mesmo instante
. Como as transformações relacionam
e
, vamos escrever a condição "mesmo
em
" e encontrar os
correspondentes.
Pela transformação do tempo:
logo
Para B:
logo
Agora aplicamos a transformação do espaço para cada extremidade:
Para A:
Para B:
Desenvolvendo:
Agrupando os termos com
:
Como
, isto simplifica para
E
Passo 6
Agora calculamos as separações espaciais entre B e A no mesmo instante
em
:
A distância (comprimento da régua) medida em
é a norma dessas componentes:
Essa é a fórmula geral: a componente paralela ao movimento sofre contração (
), a componente perpendicular não, e a combinação dá o comprimento resultante.
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos:
, logo
e
. Para
temos
e
Calculamos as parcelas:
Somando e extraindo raiz:
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida e ânimo: a régua fica significativamente encurtada em
porque sua componente ao longo de
sofre forte contração (v
é bem alta). A componente perpendicular fica igual, mas a combinação dá cerca de
do comprimento próprio — não é um número óbvio sem conta, então você fez bem em pedir a conta passo a passo. Força aí, já já isso vira treino!