-9 Uma barra se move paralelamente ao eixo x do referencial S a uma velocidade de 0,630 c, com a maior dimensão ao longo deste eixo. O comprimento de repouso da barra é 1,70 \mathrm{~m}. Qual é o comprimento da barra no referencial S ?

Passo 1

O enunciado dá uma barra que se move paralelamente ao eixo x do referencial S com velocidade v=0{,}630\,c. O comprimento de repouso (comprimento medido no referencial em que a barra está em repouso) é L_0=1{,}70\,\mathrm{m}. A pergunta é: qual é o comprimento da barra medido no referencial S?
Informações dadas:
v = 0{,}630\,c,\qquad L_0 = 1{,}70\,\mathrm{m}.
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento L da barra no referencial S.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): quando um objeto se move relativo a um referencial com velocidade próxima à da luz, o comprimento medido ao longo da direção do movimento fica menor do que o comprimento de repouso. Isso se chama contração de comprimentos. A fórmula matemática é
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde \gamma (fator de Lorentz) é definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
Explicando cada símbolo:
  • L é o comprimento medido no referencial onde a barra se move (a resposta que queremos);
  • L_0 é o comprimento de repouso (dado);
  • v é a velocidade da barra em relação ao referencial S (dado);
  • c é a velocidade da luz no vácuo;
  • \gamma é um fator maior ou igual a 1; quanto maior v mais longe de 1 ele fica, e mais ocorre a contração.

Passo 3

Primeiro calculamos a razão \dfrac{v^2}{c^2}. Como v=0{,}630\,c, temos
\frac{v^2}{c^2} = (0{,}630)^2 = 0{,}3969.
Mostrei o passo de quadrar porque às vezes em prova é fácil errar aqui — basta multiplicar 0{,}630 por 0{,}630.

Passo 4

Agora calculamos 1 - \dfrac{v^2}{c^2}:
1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0{,}3969 = 0{,}6031.

Passo 5

Em seguida tiramos a raiz quadrada para obter o denominador do \gamma:
\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0{,}6031} \approx 0{,}77665.
Portanto
\gamma = \frac{1}{0{,}77665} \approx 1{,}2875.
Expliquei com aproximação decimal; em prova você pode manter três ou quatro algarismos significativos para não perder precisão.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da contração para encontrar L:
L = \frac{L_0}{\gamma} = \frac{1{,}70\,\mathrm{m}}{1{,}2875} \approx 1{,}32\,\mathrm{m}.
Mostrei a divisão direta; se fizer à mão, divida 1{,}70 por 1{,}2875 e arredonde no final.

Passo 7

Interpretação curta e dica de prova: o comprimento medido em S é menor que o de repouso — aqui a barra ficou com cerca de 77{,}7\% do comprimento de repouso (porque 1/\gamma\approx0{,}7766). Na prova, siga estes passos rápidos: calcule (v/c)^2, faça 1-(v/c)^2, tire raiz, inverta para achar \gamma, depois divida L_0 por \gamma.

Resposta

1{,}32\,\mathrm{m}

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