O centro da Via Láctea fica a cerca de 23000 anos-luz de distancia da Terra. (a) Com oito algarismos significativos, qual é o parametro de velocidade de uma espaçonave que viaja esses 23000 anos-luz (medidos no referencial da galáxia) em 30 anos (medidos no referencial da espaçonave)? (b) No referencial da espaçonave, qual é distância percorrida em anos-luz?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo bem claro):
  • Dado: a distância entre a Terra e o centro da Via Láctea, medida no referencial da galáxia, é \;23000\;\text{anos-luz}.
  • Dado: o tempo próprio (tempo medido no relógio da espaçonave) gasto na viagem é \;30\;\text{anos}.
  • Pergunta (a): qual é o parâmetro de velocidade da espaçonave, ou seja \beta = v/c, com oito algarismos significativos?
  • Pergunta (b): no referencial da espaçonave, qual é a distância percorrida (em anos‑luz)?
Essas são as informações que temos. A partir daqui vou mostrar passo a passo a física e a álgebra necessárias para responder (sem assumir que você já sabe).

Passo 2

Escolha de unidades e interpretação física simples (para facilitar contas):
  • Vou usar unidades onde a velocidade da luz vale \;c=1\;\text{ly/yr} (um ano‑luz por ano). Nessa unidade, uma velocidade \;v em fração da luz é \;v=\beta (em ly/yr). Isso simplifica fórmulas porque podemos trocar v por \beta e tempos ficam em anos, distâncias em anos‑luz.
  • Intuição física: na galáxia a distância é \;L_0=23000\;\text{ly}. No referencial da galáxia o tempo coordenado para cruzar essa distância é \;t=L_0/v = L_0/\beta (anos). O relógio da espaçonave marca o tempo próprio \tau=30 anos, que está relacionado com t por dilatação temporal.

Passo 3

Apresentando as fórmulas essenciais (com explicação passo a passo):
  • Fator de Lorentz \gamma: \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.Explicação: \gamma mede quanto o tempo e o comprimento se transformam entre referenciais relativísticos. Ele depende só de \beta=v/c. Quando \beta se aproxima de 1, \gamma fica muito grande.
  • Relação entre tempo próprio \tau (na espaçonave) e tempo coordenado t (na galáxia): \tau=\frac{t}{\gamma}.Explicação: o tempo próprio é menor que o tempo coordenado pelo fator \gamma (dilatação do tempo).
  • Como t=L_{0}/\beta, substituindo obtemos uma equação que liga \tau, L_{0} e \beta: \tau=\frac{L_{0}/\beta}{\gamma}=\frac{L_{0}}{\beta\gamma}.Isso significa, em palavras: o tempo que a espaçonave mede para a viagem é a distância galáctica dividida pela velocidade, corrigida pela dilatação.

Passo 4

Isolando \beta a partir da equação \tau=\dfrac{L_{0}}{\beta\gamma}:
  • Escrevo \gamma em função de \beta: \gamma=1/\sqrt{1-\beta^{2}}.
  • Substituo: \tau=\frac{L_{0}}{\beta}\sqrt{1-\beta^{2}}.
  • Multiplico ambos os lados por \beta e divido por L_{0}: \frac{\tau}{L_{0}}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{\beta}.
  • Chamo \varepsilon=\left(\dfrac{\tau}{L_{0}}\right)^{2}. Elevando ao quadrado obtemos: \left(\frac{\tau}{L_{0}}\right)^{2}=\frac{1-\beta^{2}}{\beta^{2}} \quad\Rightarrow\quad \varepsilon=\frac{1-\beta^{2}}{\beta^{2}}.
  • Reorganizo para resolver \beta^{2}: \varepsilon=\frac{1}{\beta^{2}}-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\beta^{2}}=1+\varepsilon \quad\Rightarrow\quad \beta^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon}.
  • Voltando à notação original ( \varepsilon=(\tau/L_{0})^{2}), a solução fechada é: \boxed{\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{\tau}{L_{0}}\right)^{2}}}}.

Passo 5

Aplicando os números ( \tau=30\;\text{yr}, L_{0}=23000\;\text{ly}):
  • Primeiro calculo a razão \dfrac{\tau}{L_{0}}=\dfrac{30}{23000}=\dfrac{3}{2300}. Em decimal isso vale aproximadamente \;0{,}0013043478260869565.
  • Então \left(\dfrac{\tau}{L_{0}}\right)^{2}=\left(\dfrac{3}{2300}\right)^{2}=\dfrac{9}{5290000}\approx 1{,}702e{-6}.
  • Substituo na fórmula fechada: \beta=\frac{1}{\sqrt{1+ \dfrac{9}{5290000}}}=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{5290009}{5290000}}}=\sqrt{\dfrac{5290000}{5290009}}.

Passo 6

Cálculo numérico de \beta com oito algarismos significativos (explicando arredondamento):
  • Avaliando numericamente a expressão obtemos \beta\approx 0{,}9999991490\ldots
  • Arredondando para oito algarismos significativos (contando desde o primeiro algarismo não‑zero) obtemos: \boxed{\beta=0{,}99999915}.
Observação intuitiva: \beta fica extremamente próxima de 1 porque a espaçonave precisa viajar quase à velocidade da luz para cobrir 23000 anos‑luz em apenas 30 anos de seu relógio.

Passo 7

Agora calculo a distância percebida no referencial da espaçonave (comprimento contraído):
  • Em relatividade, a distância medida pela espaçonave entre origem e destino (vamos chamar L') é a distância galáctica dividida por \gamma: L'=\frac{L_{0}}{\gamma}.
  • Outra forma muito direta (mais simples nesse problema) é perceber que, no referencial da espaçonave, ela viaja à velocidade \beta por \tau anos, logo: L'=\beta\\ \tau.Isso é consistente porque L' = v\tau no referencial da espaçonave (com v=\beta em ly/yr e \tau em anos), e também dá L'=L_{0}/\gamma.

Passo 8

Cálculo numérico de L':
  • Usando \beta\approx 0{,}9999991490\ldots e \tau=30 anos: L'=\beta\,\tau\approx 0{,}9999991490\times 30\approx 29{,}99997447\;\text{ly}.
  • Portanto, no referencial da espaçonave a distância entre Terra e centro galáctico é de aproximadamente 29{,}99997447 anos‑luz — ou, de forma intuitiva, quase exatamente 30 anos‑luz porque a espaçonave passou quase à velocidade da luz.

Resposta

(a) \beta = 0{,}99999915
(b) L' = 29{,}99997447\;\text{ly}

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