O centro da Via Láctea fica a cerca de 23000 anos-luz de distancia da Terra. (a) Com oito algarismos significativos, qual é o parametro de velocidade de uma espaçonave que viaja esses 23000 anos-luz (medidos no referencial da galáxia) em 30 anos (medidos no referencial da espaçonave)? (b) No referencial da espaçonave, qual é distância percorrida em anos-luz?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo bem claro):
- Dado: a distância entre a Terra e o centro da Via Láctea, medida no referencial da galáxia, é
. - Dado: o tempo próprio (tempo medido no relógio da espaçonave) gasto na viagem é
. - Pergunta (a): qual é o parâmetro de velocidade da espaçonave, ou seja
, com oito algarismos significativos? - Pergunta (b): no referencial da espaçonave, qual é a distância percorrida (em anos‑luz)?
Essas são as informações que temos. A partir daqui vou mostrar passo a passo a física e a álgebra necessárias para responder (sem assumir que você já sabe).
Passo 2
Escolha de unidades e interpretação física simples (para facilitar contas):
- Vou usar unidades onde a velocidade da luz vale
(um ano‑luz por ano). Nessa unidade, uma velocidade em fração da luz é (em ly/yr). Isso simplifica fórmulas porque podemos trocar por e tempos ficam em anos, distâncias em anos‑luz. - Intuição física: na galáxia a distância é
. No referencial da galáxia o tempo coordenado para cruzar essa distância é (anos). O relógio da espaçonave marca o tempo próprio anos, que está relacionado com por dilatação temporal.
Passo 3
Apresentando as fórmulas essenciais (com explicação passo a passo):
- Fator de Lorentz
: Explicação: mede quanto o tempo e o comprimento se transformam entre referenciais relativísticos. Ele depende só de . Quando se aproxima de 1, fica muito grande. - Relação entre tempo próprio
(na espaçonave) e tempo coordenado (na galáxia): Explicação: o tempo próprio é menor que o tempo coordenado pelo fator (dilatação do tempo). - Como
, substituindo obtemos uma equação que liga , e : Isso significa, em palavras: o tempo que a espaçonave mede para a viagem é a distância galáctica dividida pela velocidade, corrigida pela dilatação.
Passo 4
Isolando
a partir da equação
:
- Escrevo
em função de : . - Substituo:
- Multiplico ambos os lados por
e divido por : - Chamo
. Elevando ao quadrado obtemos: - Reorganizo para resolver
: - Voltando à notação original (
), a solução fechada é:
Passo 5
Aplicando os números (
,
):
- Primeiro calculo a razão
. Em decimal isso vale aproximadamente . - Então
- Substituo na fórmula fechada:
Passo 6
Cálculo numérico de
com oito algarismos significativos (explicando arredondamento):
- Avaliando numericamente a expressão obtemos
- Arredondando para oito algarismos significativos (contando desde o primeiro algarismo não‑zero) obtemos:
Observação intuitiva:
fica extremamente próxima de
porque a espaçonave precisa viajar quase à velocidade da luz para cobrir 23000 anos‑luz em apenas 30 anos de seu relógio.
Passo 7
Agora calculo a distância percebida no referencial da espaçonave (comprimento contraído):
- Em relatividade, a distância medida pela espaçonave entre origem e destino (vamos chamar
) é a distância galáctica dividida por : - Outra forma muito direta (mais simples nesse problema) é perceber que, no referencial da espaçonave, ela viaja à velocidade
por anos, logo: Isso é consistente porque no referencial da espaçonave (com em ly/yr e em anos), e também dá .
Passo 8
Cálculo numérico de
:
- Usando
e anos: - Portanto, no referencial da espaçonave a distância entre Terra e centro galáctico é de aproximadamente
anos‑luz — ou, de forma intuitiva, quase exatamente anos‑luz porque a espaçonave passou quase à velocidade da luz.
Resposta
(a)
(b)
(b)