encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaz essa equação e as duas condições iniciais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - O termo fonte é a soma de um polinômio de grau 2 (
) e de um exponencial ( ). - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Estratégia de resolução (método dos coeficientes indeterminados, bem explicado).
- Para equações lineares com coeficientes constantes e termos à direita formados por polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou somas desses, é eficiente usar o método dos coeficientes indeterminados: procura-se a solução geral como soma da solução homogênea
(resolvendo ) e de uma solução particular da equação completa. - Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar uma solução particular como soma de duas parcelas: uma para
e outra para . - Antes de escolher as formas candidatas para
, verificar se há ressonância: isto é, se alguma das formas propostas pertence ao espaço de soluções da homogênea. Se houver ressonância, multiplica-se por uma potência de . Aqui a homogênea tem equação característica diferente da raiz , logo não há ressonância com , nem com polinômios constantes.
Passo 3
Resolver a homogênea
.
- Escrevemos a equação característica associada:
. - As raízes são
. - Para raízes complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é combinação linear de e . Aqui .
Portanto
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Procurar uma solução particular para a parte polinomial
.
- Como o lado direito tem um polinômio de grau 2, tentamos uma solução polinomial do mesmo grau:
com
constantes desconhecidas.
- Calcular derivadas:
- Substituir na equação
considerando apenas essa parcela:
- Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, que é
. Ou seja, precisamos que
- Igualando coeficientes termo a termo:
- Resolver:
- Logo a solução particular polinomial é
Passo 5
Procurar uma solução particular para a parte exponencial
.
- Como
não corresponde a raízes da característica ( não é raiz de ), podemos tentar
com constante
.
- Derivadas:
- Substituindo:
- Isso deve igualar
, então , daí
- Assim
Passo 6
Construir a solução particular total e a solução geral.
- Como o lado direito é soma das duas parcelas, a solução particular total é soma das duas soluções particulares:
- A solução geral da equação completa é
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para achar
.
- Calcular
:
- Simplificando
, , :
- Colocar em denom comum para somar os constantes:
. - Como
, obtemos
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para achar
.
- Primeiro calcular
. Derivar a solução geral:
(Explicação rápida: derivada de
é
, de
é
, de
é
, de constante
é
, e de
é
.)
- Avaliar em
:
- Simplificando
, , :
- Igualando à condição
:
- Portanto
Passo 9
Escrever a solução completa com as constantes encontradas.
- Substituindo
e em :