encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y''+4y = t^{2}+3e^{t}, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
O que se pede é encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação e as duas condições iniciais.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes: \,y''+4y=\text{(fonte)}.
  • O termo fonte é a soma de um polinômio de grau 2 ( t^{2}) e de um exponencial ( 3e^{t}).
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=2.

Passo 2

Estratégia de resolução (método dos coeficientes indeterminados, bem explicado).
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termos à direita formados por polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou somas desses, é eficiente usar o método dos coeficientes indeterminados: procura-se a solução geral como soma da solução homogênea y_h (resolvendo y''+4y=0) e de uma solução particular y_p da equação completa.
  • Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar uma solução particular como soma de duas parcelas: uma para t^{2} e outra para 3e^{t}.
  • Antes de escolher as formas candidatas para y_p, verificar se há ressonância: isto é, se alguma das formas propostas pertence ao espaço de soluções da homogênea. Se houver ressonância, multiplica-se por uma potência de t. Aqui a homogênea tem equação característica diferente da raiz 1, logo não há ressonância com e^{t}, nem com polinômios constantes.

Passo 3

Resolver a homogênea y''+4y=0.
  • Escrevemos a equação característica associada: \,r^{2}+4=0.
  • As raízes são \,r=\pm 2i.
  • Para raízes complexas conjugadas \pm \omega i, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2.
    Portanto
y_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Procurar uma solução particular para a parte polinomial t^{2}.
  • Como o lado direito tem um polinômio de grau 2, tentamos uma solução polinomial do mesmo grau:
y_{p1}(t)=a t^{2}+b t + c,
com a,b,c constantes desconhecidas.
  • Calcular derivadas:
y'_{p1}(t)=2a t + b,\qquad y''_{p1}(t)=2a.
  • Substituir na equação y''+4y considerando apenas essa parcela:
y''_{p1}+4y_{p1}=2a + 4(a t^{2}+b t + c)=4a t^{2} + 4b t + (2a+4c).
  • Esse resultado deve igualar à parte polinomial do lado direito, que é t^{2}. Ou seja, precisamos que
4a t^{2} + 4b t + (2a+4c) = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0.
  • Igualando coeficientes termo a termo:
4a = 1,\qquad 4b = 0,\qquad 2a+4c = 0.
  • Resolver:
a=\tfrac{1}{4},\qquad b=0,\qquad c=-\tfrac{2a}{4}=-\tfrac{a}{2}=-\tfrac{1}{8}.
  • Logo a solução particular polinomial é
y_{p1}(t)=\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}.

Passo 5

Procurar uma solução particular para a parte exponencial 3e^{t}.
  • Como e^{t} não corresponde a raízes da característica ( r=1 não é raiz de r^{2}+4), podemos tentar
y_{p2}(t)=d e^{t},
com constante d.
  • Derivadas:
y'_{p2}=d e^{t},\qquad y''_{p2}=d e^{t}.
  • Substituindo:
y''_{p2}+4y_{p2}=d e^{t} + 4 d e^{t} = 5d e^{t}.
  • Isso deve igualar 3 e^{t}, então 5d=3, daí
d=\tfrac{3}{5}.
  • Assim
y_{p2}(t)=\tfrac{3}{5}e^{t}.

Passo 6

Construir a solução particular total e a solução geral.
  • Como o lado direito é soma das duas parcelas, a solução particular total é soma das duas soluções particulares:
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{t}.
  • A solução geral da equação completa é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{t}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0)=0 para achar C_{1}.
  • Calcular y(0):
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)+\tfrac{1}{4}\cdot 0^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{0}.
  • Simplificando \cos(0)=1, \sin(0)=0, e^{0}=1:
y(0)=C_{1} -\tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}.
  • Colocar em denom comum para somar os constantes: -\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5} = -\tfrac{5}{40} + \tfrac{24}{40} = \tfrac{19}{40}.
  • Como y(0)=0, obtemos
C_{1} + \tfrac{19}{40}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\tfrac{19}{40}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y'(0)=2 para achar C_{2}.
  • Primeiro calcular y'(t). Derivar a solução geral:
y'(t) = -2C_{1}\sin(2t) + 2C_{2}\cos(2t) + \tfrac{1}{2}t + \tfrac{3}{5}e^{t}.
(Explicação rápida: derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t), de \sin(2t) é 2\cos(2t), de \tfrac{1}{4}t^{2} é \tfrac{1}{2}t, de constante -\tfrac{1}{8} é 0, e de \tfrac{3}{5}e^{t} é \tfrac{3}{5}e^{t}.)
  • Avaliar em t=0:
y'(0) = -2C_{1}\sin(0) + 2C_{2}\cos(0) + \tfrac{1}{2}\cdot 0 + \tfrac{3}{5}e^{0}.
  • Simplificando \sin(0)=0, \cos(0)=1, e^{0}=1:
y'(0) = 2C_{2} + \tfrac{3}{5}.
  • Igualando à condição y'(0)=2:
2C_{2} + \tfrac{3}{5} = 2 \quad\Rightarrow\quad 2C_{2} = 2 - \tfrac{3}{5} = \tfrac{7}{5}.
  • Portanto
C_{2} = \tfrac{7}{10}.

Passo 9

Escrever a solução completa com as constantes encontradas.
  • Substituindo C_{1}=-\tfrac{19}{40} e C_{2}=\tfrac{7}{10} em y(t):
y(t) = -\tfrac{19}{40}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) + \tfrac{1}{4}t^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{t}.

Resposta

y(t) = -\tfrac{19}{40}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) + \tfrac{1}{4}t^{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{5}e^{t}

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