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Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
( e
se
transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
Uma equação linear da forma
a)
Passo 1
Você tem a equação de Euler de segunda ordem
que é do tipo
com
. Vamos usar a mudança de variável para transformar em equação de coeficientes constantes.
Passo 2
Para
, defina
Usando regra da cadeia obtemos
Passo 3
Substituindo em
:
Somando tudo:
Logo a equação em
é
Passo 4
Essa é uma EDO de coeficientes constantes cuja solução geral é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Voltando à variável original,
, obtemos a solução geral:
Resposta
y(x) = C_{1}\cos(\ln x) + C_{2}\sin(\ln x)