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Uma equação linear da forma x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, onde a e beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^z se x>0 ( e x=-e^z se x<0) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a) x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

Você tem a equação de Euler de segunda ordem
x^2y'' + x y' + y = 0,
que é do tipo x^2y''+alpha x y'+beta y=0 com alpha=1,,beta=1. Vamos usar a mudança de variável para transformar em equação de coeficientes constantes.

Passo 2

Para x>0, defina
z = ln x Longrightarrow x = e^z
Usando regra da cadeia obtemos
dydx = e^-zdydz,
d^2ydx^2 = e^-zddzl(e^-zdydzr) = e^-2zl(d^2ydz^2 - dydzr)

Passo 3

Substituindo em x^2y''+x y'+y=0:
x^2y'' = e^2zcdot e^-2z(y'' - y') = y'' - y',
x y' = e^zcdot e^-zy' = y',
y = y
Somando tudo:
(y'' - y') + y' + y = y'' + y = 0
Logo a equação em z é
d^2ydz^2 + y = 0

Passo 4

Essa é uma EDO de coeficientes constantes cuja solução geral é
y(z) = C1cos(z) + C2sin(z),
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, z = ln x, obtemos a solução geral:
y(x) = C1cos(ln x) + C2sin(ln x)

Resposta

y(x) = C_{1}\cos(\ln x) + C_{2}\sin(\ln x)

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