Seja w=f(x, y) uma função diferenciável, onde x(r, theta)=r cos theta e y(r, theta)=r sin theta. Mostre que
(partial wpartial r)^2+1r^2(partial wpartial theta)^2=(partial wpartial x)^2+(partial wpartial y)^2

Passo 1

O problema pede para mostrar que, para uma função diferenciável w=f(x,y) com a transformação x=rcostheta e y=rsintheta, vale
l(partial wpartial rr)^2 + 1r^2l(partial wpartial thetar)^2 = l(partial wpartial xr)^2 + l(partial wpartial yr)^2
O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais, junto com a identidade trigonométrica cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 2

Pela regra da cadeia, calculamos dfracpartial wpartial r. Como
xr = partialpartial r(rcostheta)=costheta, yr = partialpartial r(rsintheta)=sintheta,
segue
partial wpartial r = wx,xr + wy,yr = wxcostheta + wysintheta,
onde escrevemos wx=partial w/partial x e wy=partial w/partial y.

Passo 3

Agora calculamos dfracpartial wpartial theta pela regra da cadeia. Sabendo que
xtheta = partialpartialtheta(rcostheta) = -rsintheta, ytheta = partialpartialtheta(rsintheta) = rcostheta,
obtemos
partial wpartial theta = wx,xtheta + wy,ytheta = -r wxsintheta + r wycostheta = rl(wycostheta - wxsinthetar)

Passo 4

Agora formamos o lado esquerdo da identidade:
l(partial wpartial rr)^2 + 1r^2l(partial wpartial thetar)^2 = (wxcostheta + wysintheta)^2 + 1r^2l[r(wycostheta - wxsintheta)r]^2
Isso simplifica para
(wxcostheta + wysintheta)^2 + (wycostheta - wxsintheta)^2

Passo 5

Basta agora expandir e usar cos^2theta + sin^2theta=1 e ver que os termos mistos se cancelam:
(wx^2cos^2theta + 2wxwysinthetacostheta + wy^2sin^2theta) + (wy^2cos^2theta - 2wxwysinthetacostheta + wx^2sin^2theta) = wx^2 + wy^2
Portanto, chegamos exatamente a
l(partial wpartial rr)^2 + 1r^2l(partial wpartial thetar)^2 = wx^2 + wy^2,
que é o que queríamos demonstrar.

Resposta

A igualdade
l(partial wpartial rr)^2 + 1r^2l(partial wpartial thetar)^2 = l(partial wpartial xr)^2 + l(partial wpartial yr)^2
vale para toda função diferenciável w=f(x,y) sob a mudança de coordenadas polares.

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