(y^3+alpha x y+15 x^2 y^2-4) d z+(3 x y^2-2 x^2+beta x^3 y+7) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
4
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  1. y^prime prime-4 y=2 ; y1=e^-2 x
  2. x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; y1(x)=x^2
  3. x y^prime prime+(1-2 x) y^prime+(x-1) y=0 ; x>0, y1=e^x
  4. x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0 ; y1(x)=x^-1
    5
    Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
    a) (x+y) y^prime+x arctg(yx)=0
    b) (x-y) y^prime=y^2
    c) y^prime-2 x y=x^3
    d) y^prime=2 x y+y^3
    e) x y^prime+y=sen y
    f) (y-2 x y^prime)^2=y^3
    g) y=x e^y^prime
    h) (y^prime-2 x y) raizy=x^3
    i) y^prime=(x+y)^2
    j) x cos y^prime+y sen y^prime=x^3
    l) (x^2-x y) y^prime=y^4
    m) (x^2+2 x y^3) d x+(y^2+3 x^2 y^2) d y=0
    6
    Resolva as equações:
    a) y^prime=e^x-2 y
    b) x^2 y^2 d yd x=1+x^2
    c) y^prime sen x+y cos x=1
    d) y^prime=x^3-2 x y
    e) (1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0
    f) (3 x^2 tg y-2 y^3x^3)+(x^3 sec ^2 y+4 y^3+3 y^2x^2) y^prime=0
    g) x y^prime=y+raizx^2+y^2
    h) (1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0
    i) y^prime=yx+cos ^2(yx)
    7
    (Equação de Bernoulli) A equação
y^prime+p(x) y=q(x) y^n
onde p(x) e q(x) são funções contínuas em algum intervalo I da reta e n in Re, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se n neq 0 e n neq 1 a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável z=y^1-n. Demostre isto, e resolva as equações:
a) y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
b) y^prime=y+e^-3 x y^4
c) 2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
d) x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)
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a) Determine k sabendo que mu(x, y)=y^kx é fator integrante da equação: y d x+(x y^2-x ln (x)) d y=0 e, em seguida, resolva a equação para y(1)=2.

Passo 1

Temos a equação diferencial y,dx + (x y^2 - xln x),dy = 0 e um fator integrante proposto mu(x,y)=y^kx. O objetivo é achar k de modo que a equação, multiplicada por mu, torne-se exata.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=y e N(x,y)=x y^2 - xln x. Multiplicando por mu obtemos
M^*(x,y)=mu,M=y^kx,y=y^k+1x, N^*(x,y)=mu,N=y^kxl(xy^2 - xln xr)=y^kl(y^2-ln xr)

Passo 3

Para exatidão precisa valer partial M^*/partial y=partial N^*/partial x. Calculamos
partial M^*partial y=k+1xy^k, partial N^*partial x=y^kcdotddx(-ln x)=-y^kx

Passo 4

Igualando dá
k+1xy^k=-y^kx Longrightarrow k+1=-1 Longrightarrow k=-2

Passo 5

Logo mu(x,y)=y^-2x=1x y^2. Multiplicando a equação original temos
M^*,dx+N^*,dy=1x y,dx+l(1-ln xy^2r)dy=0,
que é exata. Buscamos phi tal que phix=1/(x y). Integrando em relação a x:
phi(x,y)=integral1x y,dx=ln xy+h(y)

Passo 6

Derivando em y e igualando a N^*=1-ln xy^2 obtemos h'(y)=1, logo h(y)=y. Assim
phi(x,y)=ln xy+y=C

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(1)=2 fica
phi(1,2)=ln12+2=2 Longrightarrow C=2

Resposta

A solução implícita é
ln xy+y=2
ou equivalentemente
y^2-2y+ln x=0

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