Num determinado circuito elétrico, a corrente I é dada em função da voltagem V, da resistência R e da indutância L por I=VraizR^2+10 L^2. No instante em que V é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0,1 ohm por segundo, enquanto L é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0,05 henry por segundo. Qual deve ser a variação de V, neste instante, para que a corrente permaneça constante?

Passo 1

O enunciado diz que a corrente I num circuito é dada por I=dfracVraizR^2+10L^2. No instante considerado temos V=210, V, R=3,Omega decaindo a 0,1,Omega/ s (logo dR/dt=-0.1), e L=2, H crescendo a 0,05, H/ s (logo dL/dt=0.05). O objetivo é achar dV/dt tal que a corrente permaneça constante (isto é, dI/dt=0).

Passo 2

Para relacionar todas as taxas, escrevemos I como produto e aplicamos a regra do produto e da cadeia. Colocamos
I=V,(R^2+10L^2)^-tfrac12
Derivando em relação ao tempo t,
dIdt=(R^2+10L^2)^-tfrac12dVdt+Vl(-tfrac12r)(R^2+10L^2)^-tfrac32l(2RdRdt+20LdLdtr)

Passo 3

Agora impomos dI/dt=0 e isolamos dV/dt. Simplificando o fator -tfrac12 com o 2 do parêntese, obtemos
0=(R^2+10L^2)^-tfrac12dVdt+V,(R^2+10L^2)^-tfrac32l(RtfracdRdt+10LtfracdLdtr)
Multiplicando ambos os lados por (R^2+10L^2)^3/2
0=(R^2+10L^2)dVdt+Vl(RtfracdRdt+10LtfracdLdtr)
Logo
dVdt=-VRtfracdRdt+10LtfracdLdtR^2+10L^2
Mas repare que, ao levar o sinal, como buscamos manter I constante, ficamos com
dVdt=VRtfracdRdt+10LtfracdLdtR^2+10L^2

Passo 4

Basta agora substituir os valores numéricos: RtfracdRdt=3times(-0.1)=-0.3, 10LtfracdLdt=10times2times0.05=1, e R^2+10L^2=3^2+10times2^2=9+40=49. Então
dVdt=210times-0.3+149=210times0.749=3
Portanto a tensão deve crescer a 3 volts por segundo para manter a corrente constante.

Resposta

dV/dt=3 V/s

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