5-10 Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
f(0)=0, f(1)=1, lim x infty f(x)=0, f é ímpar

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa esboçar o gráfico de uma função $ f $ que atende a algumas condições específicas. As condições são:
  • $ f(0) = 0 $
  • $ f(1) = 1 $
  • $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $
  • A função $ f $ é ímpar, ou seja, $ f(-x) = -f(x) $
Vamos precisar usar conceitos de funções ímpares, limites e entender como esses fatores influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser ímpar. Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio, $ f(-x) = -f(x) $. Isso implica que o gráfico da função é simétrico em relação à origem (0,0).

Passo 3

Sabemos que $ f(0) = 0 $. Isso é consistente com a propriedade de função ímpar, já que $ f(-0) = -f(0) $ resulta em $ f(0) = 0 $.

Passo 4

Temos também que $ f(1) = 1 $. Isso nos dá um ponto específico no gráfico: o ponto (1,1). Como a função é ímpar, isso significa que $ f(-1) = -1 $, então outro ponto no gráfico será (-1,-1).

Passo 5

O limite $ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 $ nos indica que, à medida que $ x $ cresce sem limites, o valor de $ f(x) $ se aproxima de 0. Isso significa que o gráfico da função vai se aproximar do eixo $ x $ conforme $ x $ aumenta ou diminui muito.

Passo 6

Agora, vamos pensar em uma função que atenda a todas essas condições. Uma função que é ímpar, passa por (0,0), (1,1), (-1,-1) e tende a 0 quando $ x $ vai para infinito é:
x
Vamos verificar cada condição:
  • $ f(0) = \frac{2 \cdot 0}{1 + 0^2} = 0 $ ✅
  • $ f(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1^2} = 1 $ ✅
  • $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{1 + x^2} = 0 $ ✅
  • Para ser ímpar: $ f(-x) = \frac{2(-x)}{1 + (-x)^2} = -\frac{2x}{1 + x^2} = -f(x) $ ✅

Resposta

f(x) = 2x1 + x^2

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