Prove que se
então as potências sucessivas
crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Mais precisamente se
então, dado qualquer
, é possível obter um inteiro
tal que
. (Evidentemente, sendo
, ter-se-á, também
etc.).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma base fixa
, então a sequência de potências
cresce de tal forma que ultrapassa qualquer valor
escolhido. O conteúdo principal aqui é o comportamento de sequências exponenciais e vamos usar a desigualdade de Bernoulli para estabelecer um limite inferior simples para
.
Passo 2
Começamos aplicando a desigualdade de Bernoulli. Como
, escrevemos
com
. A desigualdade de Bernoulli diz que, para todo inteiro
e
, vale
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Para garantir que
, basta impor
Isso é equivalente a
Como
é um número real e
deve ser inteiro, escolhemos
Com essa escolha, temos
e, portanto,
.
Resposta
Basta tomar
, pois então
.