Prove que se x>1 então as potências sucessivas
x, x^2, x^3, x^4, ldots, etc ,
crescem e podem vir a superar qualquer número fixado de antemão. Mais precisamente se x>1 então, dado qualquer A>0, é possível obter um inteiro n tal que x^n>A. (Evidentemente, sendo x^n>A, ter-se-á, também x^n+1>A, x^n+2>A etc.).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma base fixa x>1, então a sequência de potências x, x^2, x^3, dots cresce de tal forma que ultrapassa qualquer valor A>0 escolhido. O conteúdo principal aqui é o comportamento de sequências exponenciais e vamos usar a desigualdade de Bernoulli para estabelecer um limite inferior simples para x^n.

Passo 2

Começamos aplicando a desigualdade de Bernoulli. Como x>1, escrevemos x=1+a com a=x-1>0. A desigualdade de Bernoulli diz que, para todo inteiro n>=1 e a>-1, vale
(1+a)^n >= 1 + na
Substituindo a=x-1, obtemos
x^n = (1+a)^n >= 1 + n(x-1)

Passo 3

Para garantir que x^n>A, basta impor
1 + n(x-1) > A
Isso é equivalente a
n > A-1x-1
Como tfracA-1x-1 é um número real e n deve ser inteiro, escolhemos
n = lceil A-1x-1 rceil
Com essa escolha, temos n>tfracA-1x-1 e, portanto, x^n>A.

Resposta

Basta tomar n=lceil(A-1)/(x-1)rceil, pois então x^n>=1+n(x-1)>A.

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