Ache a solução geral da equação
d^3 xd t^3+d xd t=2 t^2+4 sin t

Passo 1

A equação que a gente precisa resolver é x'''(t)+x'(t)=2t^2+4sin t. É uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método de coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução homogênea, depois uma particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Considerando a parte homogênea x''' + x' = 0, montamos a equação característica:
r^3 + r = 0 implies r(r^2+1)=0
Então as raízes são r=0,pm i. Logo a solução complementar é
xh(t)=C1 + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Para o termo polinomial 2t^2, como r=0 é raiz simples, a gente multiplica por t e tenta
xp1(t)=t(A t^2+Bt+C)=A t^3 + B t^2 + C t
Calculando as derivadas e somando x'''p1+x'p1, obtemos
x'''p1+x'p1=3A t^2 + 2B t + (6A+C)
Igualando a 2t^2
3A=2,
2B=0,
6A+C=0,
Logo A=2/3, B=0, C=-4 e
xp1(t)=23 t^3 -4t

Passo 4

Para o termo 4sin t, como pm i já aparecem na homogênea, multiplicamos por t e tentamos
xp2(t)=t(alphasin t + betacos t)
Fazendo as derivadas e somando x'''p2+x'p2 e igualando a 4sin t, a gente acha
alpha=-2 e beta=0. Assim
xp2(t)=-2tsin t

Passo 5

Somando tudo, a solução geral fica
x(t)=xh(t)+xp1(t)+xp2(t)=C1 + C2cos t + C3sin t + 23 t^3 -4t -2tsin t

Resposta

x(t)=C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t + \frac23 t^3 -4t -2t\sin t

Exercícios relacionados