A desigualdade x significa que a diferença y-x é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
Se x e a>0, então a x.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre desigualdades, mais especificamente sobre como multiplicar lados de uma desigualdade por um número positivo. A gente precisa provar que se $ x < y $ e $ a > 0 $, então $ a x < a y $. Vamos usar o fato de que o produto de dois números positivos é positivo para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ x < y $. Isso quer dizer que, se subtrairmos $ x $ de $ y $, a diferença $ y - x $ será um número positivo. Ou seja, $ y - x > 0 $.

Passo 3

Agora, sabemos que $ a > 0 $ também. Então, temos dois números positivos: $ a $ e $ y - x $. Quando multiplicamos dois números positivos, o resultado é sempre positivo. Portanto, $ a \times (y - x) > 0 $.

Passo 4

Vamos distribuir o $ a $ na multiplicação: $ a \times y - a \times x > 0 $. Isso simplifica para $ a y - a x > 0 $.

Passo 5

Se rearranjarmos essa última inequação, temos $ a y > a x $. Ou seja, $ a x < a y $.

Resposta

Portanto, se $ x < y $ e $ a > 0 $, então $ a x < a y $.

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