A desigualdade
significa que a diferença
é um número positivo. Usando o fato de que o produto de dois números positivos é positivo, prove as seguintes afirmações:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre desigualdades, mais especificamente sobre como multiplicar lados de uma desigualdade por um número positivo. A gente precisa provar que se $ x < y $ e $ a > 0 $, então $ a x < a y $. Vamos usar o fato de que o produto de dois números positivos é positivo para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ x < y $. Isso quer dizer que, se subtrairmos $ x $ de $ y $, a diferença $ y - x $ será um número positivo. Ou seja, $ y - x > 0 $.
Passo 3
Agora, sabemos que $ a > 0 $ também. Então, temos dois números positivos: $ a $ e $ y - x $. Quando multiplicamos dois números positivos, o resultado é sempre positivo. Portanto, $ a \times (y - x) > 0 $.
Passo 4
Vamos distribuir o $ a $ na multiplicação: $ a \times y - a \times x > 0 $. Isso simplifica para $ a y - a x > 0 $.
Passo 5
Se rearranjarmos essa última inequação, temos $ a y > a x $. Ou seja, $ a x < a y $.
Resposta
Portanto, se $ x < y $ e $ a > 0 $, então $ a x < a y $.