Q 10 Esboce o gráfico das funções abaixo e determine lim x k^- f(x), lim x k^+ f(x) e, caso exista, lim x k f(x).
f(x)= 2^x, & x<0 1-x, & 0 <= x<1 x^2-1, & x>1 2-x, & x=1 [k=1]

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 2^x,&x<0, 1 - x,&0 <= x<1, x^2-1,&x>1, 2 - x,&x=1,
e pede o esboço do gráfico e os limites limxto1^-f(x), limxto1^+f(x) e, se existir, limxto1f(x). O conteúdo aqui é cálculo de limites laterais em função definida por partes.

Passo 2

Para esboçar o gráfico:
— Em x<0, f(x)=2^x é uma exponencial decrescente conforme x vai a -infty e atinge f(0^-)=1.
— Em 0<= x<1, f(x)=1-x é a reta decrescente de f(0)=1 até aproximar-se de f(1^-)=0, ponto aberto em x=1.
— Em x>1, f(x)=x^2-1 é a parábola que em xto1^+ vale 0 (ponto aberto em (1,0)) e cresce para a direita.
— Em x=1, há ponto isolado em
f(1)=2-1=1

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda:
no ramo 0<= x<1 vale f(x)=1-x,
limxto1^-f(x)=limxto1^-(1-x)=1-1=0

Passo 4

Calcular o limite pela direita:
no ramo x>1 vale f(x)=x^2-1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+(x^2-1)=1^2-1=0

Passo 5

Como
limxto1^-f(x)=0 e limxto1^+f(x)=0, os limites laterais coincidem e portanto
limxto1f(x)=0
Note que f(1)=1neq0, logo há descontinuidade removível em x=1.

Resposta

limxto1^-f(x)=0, limxto1^+f(x)=0, limxto1f(x)=0

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