Encontre a série que representa e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a série que representa e o raio de convergência dessa nova série.
O conteúdo aqui é a derivação termo a termo de uma série de potências, lembrando que dentro do raio de convergência podemos derivar termo a termo e que esse procedimento preserva o raio.
Passo 2
Derivando termo a termo, para cada temos
Como o termo é constante, sua derivada some, e ficamos com
Passo 3
Para escrever em forma padrão , façamos a troca de índice . Então e , ficando
Passo 4
O raio de convergência de uma série de potências
pode ser obtido pelo teste da razão:
No nosso caso original an=1/(n+4), então
limntoinfty1/(n+4)1/(n+5) =limntoinftyn+5n+4=1,
logo R=1. Como a derivação termo a termo preserva o raio, a série de f'(x) também converge para |x|<1.
Resposta
f'(x)=sumn=1^inftynn+4,x^n-1 =summ=0^inftym+1m+5,x^m,
com raio de convergência R=1.