Encontre a série que representa f^prime(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=sumn=0^infty 1n+4 x^n

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=sumn=0^infty1n+4,x^n
e pede a série que representa f'(x) e o raio de convergência dessa nova série.
O conteúdo aqui é a derivação termo a termo de uma série de potências, lembrando que dentro do raio de convergência podemos derivar termo a termo e que esse procedimento preserva o raio.

Passo 2

Derivando termo a termo, para cada n>=1 temos
ddxl(tfrac1n+4x^nr) =1n+4,n,x^n-1 =nn+4,x^n-1
Como o termo n=0 é constante, sua derivada some, e ficamos com
f'(x)=sumn=1^inftynn+4,x^n-1

Passo 3

Para escrever em forma padrão summ=0^infty am x^m, façamos a troca de índice m=n-1. Então n=m+1 e n+4=m+5, ficando
f'(x) =summ=0^inftym+1m+5,x^m

Passo 4

O raio de convergência R de uma série de potências
sum an x^n
pode ser obtido pelo teste da razão:
limntoinftyl|anan+1r|
No nosso caso original an=1/(n+4), então
limntoinfty1/(n+4)1/(n+5) =limntoinftyn+5n+4=1,
logo R=1. Como a derivação termo a termo preserva o raio, a série de f'(x) também converge para |x|<1.

Resposta

f'(x)=sumn=1^inftynn+4,x^n-1 =summ=0^inftym+1m+5,x^m,
com raio de convergência R=1.

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