Exercício 9 (ELJ 57)
Consideremos abaixo
uma função diferenciável,
.
a) Mostre que se
satisfaz
em
, então
é constante.
b) Encontre
em
, mas
não é independente de
.
Consideremos abaixo
a) Mostre que se
b) Encontre
Passo 1
O enunciado define o domínio
isto é, o plano com um “raio” positivo do eixo
retirado, e afirma que
é diferenciável.
a) Pede-se provar que, se
a) Pede-se provar que, se
então
é constante em todo
.
b) Pede-se dar um exemplo de em
tal que
b) Pede-se dar um exemplo de
mas
não seja globalmente independente de
.
Passo 2
Para (a) usamos que, se
numa região que seja trajetória-conexa (isto é, entre quaisquer dois pontos existe um caminho contido em
), então
logo
para quaisquer
.
Basta verificar que é conectado por trajetórias: apesar do “raio” removido, todo ponto acima ou abaixo dele pode ser ligado a qualquer outro por um caminho que contorna o raio.
Basta verificar que
Passo 3
Aplicando o argumento do passo anterior, para quaisquer
e qualquer curva suave
de
a
temos
Logo
e
é constante em todo
.
Passo 4
Para (b) queremos uma função diferenciável em
Em qualquer ponto de é constante, logo
No entanto, para um mesmo valor de
e
temos
, isto é,
não é globalmente função só de
.
Resposta
a)
que satisfaz mas não é independente de
.