Exercício 9 (ELJ 57)
Consideremos abaixo f: Omega subset R^2 R uma função diferenciável, Omega=R^2 backslash(x, 0) ; x >= 0.
a) Mostre que se f: Omega R satisfaz partial fpartial x=partial fpartial y=0 em Omega, então f é constante.
b) Encontre f: Omega R com partial fpartial y=0 em Omega, mas f não é independente de y.

Passo 1

O enunciado define o domínio
Omega = R^2 setminus (x,0)colon x>=0,
isto é, o plano com um “raio” positivo do eixo x retirado, e afirma que fcolonOmegatoR é diferenciável.
a) Pede-se provar que, se
partial fpartial x = 0 e partial fpartial y = 0 em Omega,
então f é constante em todo Omega.
b) Pede-se dar um exemplo de f em Omega tal que
partial fpartial y = 0 em Omega,
mas f não seja globalmente independente de y.

Passo 2

Para (a) usamos que, se nabla f = (fx,fy) = (0,0) numa região que seja trajetória-conexa (isto é, entre quaisquer dois pontos existe um caminho contido em Omega), então
f(P2) - f(P1) = integralP1^P2 nabla fcdot d r = 0,
logo f(P2)=f(P1) para quaisquer P1,P2inOmega.
Basta verificar que Omega é conectado por trajetórias: apesar do “raio” removido, todo ponto acima ou abaixo dele pode ser ligado a qualquer outro por um caminho que contorna o raio.

Passo 3

Aplicando o argumento do passo anterior, para quaisquer P1,P2inOmega e qualquer curva suave gammasubsetOmega de P1 a P2 temos
f(P2)-f(P1) = integralgamma fx,dx + fy,dy = integralgamma0,dx + 0,dy =0
Logo f(P2)=f(P1) e f é constante em todo Omega.

Passo 4

Para (b) queremos uma função diferenciável em
Em qualquer ponto de é constante, logo
No entanto, para um mesmo valor de e temos , isto é, não é globalmente função só de .

Resposta

a)
que satisfaz mas não é independente de .

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