Calcule integralC(y^2 cos x+z^3) d x+(2 y sen x-4) d y+(e x z^2+2) d z, sendo C a hélice parametrizada por gamma(t)=(cos t, sen t, t), t in[0,2 pi] .

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC P,dx + Q,dy + R,dz
em que P=y^2cos x+z^3, Q=2ysin x-4, R=e x z^2+2 ao longo da hélice gamma(t)=(cos t,sin t,t), tin[0,2pi].
Conteúdo: parametrização de curvas e cálculo direto de integrais de linha.

Passo 2

Parametrizamos
x=cos t, y=sin t, z=t
Então
dx=-sin t,dt, dy=cos t,dt, dz=dt

Passo 3

Substituímos na integral e escrevemos em função de t:
I=integral0^2pil[(sin^2 tcos(cos t)+t^3)(- sin t) +(2sin tsin(cos t)-4)cos t +(ecos t,t^2+2)r],dt
Expandindo, separamos em parcelas:
I = integral0^2pil[-sin^3 tcos(cos t)+2sin tcos tsin(cos t)r],dt +integral0^2pi(-t^3sin t),dt -4integral0^2picos t,dt +eintegral0^2pit^2cos t,dt +2integral0^2pidt

Passo 4

Observe que
ddtl(sin^2 t,sin(cos t)r) =2sin tcos tsin(cos t) -sin^3 tcos(cos t),
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integral0^2pil[-sin^3 tcos(cos t)+2sin tcos tsin(cos t)r],dt =0
Além disso,
integral0^2picos t,dt=0,
então o termo -4integral0^2picos t,dt também é zero.

Passo 5

Para
integral0^2pi(-t^3sin t),dt
usamos integração por partes sucessivas. Seja
u=-t^3, dv=sin t,dt. Então obtemos
integral0^2pi(-t^3sin t),dt =l[t^3cos t-3t^2sin t-6tcos t+6sin tr]0^2pi =8pi^3-12pi

Passo 6

Para
eintegral0^2pit^2cos t,dt
fazemos outra vez partes:
integral0^2pit^2cos t,dt =l[t^2sin t+2tcos t-2sin tr]0^2pi =4pi,
logo esse termo vale 4epi.
O último termo é
2integral0^2pidt=4pi

Passo 7

Somando todas as parcelas não nulas:
I=(8pi^3-12pi)+4epi+4pi =8pi^3+4pi(e-2)

Resposta

8pi^3 +4pi(e-2)

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