Calcule
, sendo
a hélice parametrizada por
, sen
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
em que
,
,
ao longo da hélice
,
.
Conteúdo: parametrização de curvas e cálculo direto de integrais de linha.
Conteúdo: parametrização de curvas e cálculo direto de integrais de linha.
Passo 2
Parametrizamos
Então
Passo 3
Substituímos na integral e escrevemos em função de
:
Expandindo, separamos em parcelas:
Passo 4
Observe que
logo
Além disso,
então o termo
também é zero.
Passo 5
Para
usamos integração por partes sucessivas. Seja
,
. Então obtemos
Passo 6
Para
fazemos outra vez partes:
logo esse termo vale
.
O último termo é
O último termo é
Passo 7
Somando todas as parcelas não nulas: