Q 10 Esboce o gráfico das funções abaixo e determine lim x k^- f(x), lim x k^+ f(x) e, caso exista, lim x k f(x).
f(x)=(0,5)^x, & x <= 1 ln (x), & x>1 [k=1]

Passo 1

O enunciado define a função peça-por-peça
f(x)= (0,5)^x,&x<=1, ln(x),&x>1,
e pede o esboço do gráfico em torno de x=1 e os limites laterais limxto1^-f(x), limxto1^+f(x) e, se existir, limxto1f(x). Para isso, vamos usar as propriedades de funções exponencial de base menor que 1 e do logaritmo natural.

Passo 2

Esboço qualitativo em torno de x=1:
– Para x<=1, f(x)=(0,5)^x=(tfrac12)^x. Essa curva é decrescente: quando xto-infty, (0,5)^xto+infty; em x=1 vale (0,5)^1=0,5. Marque um ponto fechado em (1,0,5).
– Para x>1, f(x)=ln(x). Essa curva passa por (1,0) (marque um ponto aberto) e cresce lentamente para +infty quando xto+infty.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(0,5)^x =(0,5)^1 =0,5

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
limxto1^+f(x) =limxto1^+ln(x) =ln(1) =0

Passo 5

Como limxto1^-f(x)=0,5neq0=limxto1^+f(x), o limite limxto1f(x) não existe.

Resposta

limxto1^-f(x)=0,5 limxto1^+f(x)=0 limxto1f(x) não existe.

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