Encontre a série que representa f^prime(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=sumn=1^infty (-1)^n-1n 16^n x^2 n+1

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=sumn=1^infty(-0,1)^,n-1n,16^n,x^2n+1
e pede a série de f'(x) e seu raio de convergência.
Conteúdo: vamos usar diferenciação termo a termo de séries potenciais e, em seguida, o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Diferenciando termo a termo, cada termo
an(x)=(-0,1)^,n-1n,16^n,x^2n+1
virá em
an'(x) =(-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n
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f'(x) =sumn=1^infty(-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n

Passo 3

Para aplicar o teste da razão, defina
un = (-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n
Queremos
L=limntoinfty|un+1un|

Passo 4

Calculemos
un+1un =(-0,1)^,n(n+1),16^,n+1,(2n+3),x^2n+2 (-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n =2n+3n+1,n2n+1,0,116,x^2
Tomando o valor absoluto e o limite, temos
L =limntoinfty2n+3n+1,n2n+1,0,116,|x|^2 =1160,|x|^2
Condição de convergência: L<1, ou seja
|x|^2160<1 Longrightarrow |x|<raiz160

Passo 5

Concluímos que
f'(x)=sumn=1^infty(-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n,
e o raio de convergência é
R=raiz160=4raiz10

Resposta

f'(x)=sumn=1^infty(-0,1)^,n-1n,16^n,(2n+1),x^2n, R=4raiz10

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