Exercício 14 (ELJ 85)
Encontre os quatro pontos onde
sendo
. Encontre os pontos da curva
, onde o teorema da função implícita não garante que ela possa ser resolvida unicamente por
nem por
.
Encontre os quatro pontos onde
Passo 1
O enunciado trata de
. Primeiro vamos achar os pontos críticos resolvendo
. Depois, para a curva de nível
, usamos o Teorema da Função Implícita: ele garante que podemos escrever localmente
se
, ou
se
. Queremos os pontos onde nenhum desses casos vale, isto é, onde ambas as derivadas parciais se anulam sobre
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero obtemos
ou
, e
ou
. Assim os pontos críticos são
Passo 3
Para identificar onde não se garante resolver por
, impomos
Da primeira vem
ou
. Se
, então
, dando
ou
. Se
, então
cuja solução real é
ou
. Logo nestes pontos não se garante
:
Passo 4
De modo análogo, para não garantir
impomos
isto é,
ou
junto com
. Para
vem
ou
. Para
vem
cuja solução real é
ou
. Assim os pontos são
Passo 5
Os pontos da curva
onde nenhuma das duas resoluções é garantida são aqueles em que simultaneamente
e
. Já vimos que os únicos pontos críticos de
que satisfazem
são
Resposta
Os quatro pontos onde
são
Os pontos da curva
onde o Teorema da Função Implícita não garante nem
nem
são