Exercício 14 (ELJ 85)
Encontre os quatro pontos onde nabla f=0 sendo f(x, y)=2 x^3-3 x^2+2 y^3+3 y^2. Encontre os pontos da curva f(x, y)=0, onde o teorema da função implícita não garante que ela possa ser resolvida unicamente por y=y(x) nem por x=x(y).

Passo 1

O enunciado trata de f(x,y)=2x^3-3x^2+2y^3+3y^2. Primeiro vamos achar os pontos críticos resolvendo nabla f=0. Depois, para a curva de nível f(x,y)=0, usamos o Teorema da Função Implícita: ele garante que podemos escrever localmente y=y(x) se partial f/partial yneq0, ou x=x(y) se partial f/partial xneq0. Queremos os pontos onde nenhum desses casos vale, isto é, onde ambas as derivadas parciais se anulam sobre f=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=6x^2-6x=6x(x-1),
partial fpartial y=6y^2+6y=6y(y+1)
Igualando a zero obtemos x=0 ou x=1, e y=0 ou y=-1. Assim os pontos críticos são
(0,0),;(0,-1),;(1,0),;(1,-1)

Passo 3

Para identificar onde não se garante resolver por y=y(x), impomos
partial fpartial y=0 e f(x,y)=0
Da primeira vem y=0 ou y=-1. Se y=0, então f(x,0)=2x^3-3x^2=x^2(2x-3)=0, dando x=0 ou x=tfrac32. Se y=-1, então
f(x,-1)=2x^3-3x^2-2+3=2x^3-3x^2+1=0,
cuja solução real é x=1 ou x=-tfrac12. Logo nestes pontos não se garante y=y(x):
(0,0),;l(tfrac32,0r),;(1,-1),;l(-tfrac12,-1r)

Passo 4

De modo análogo, para não garantir x=x(y) impomos
partial fpartial x=0 e f(x,y)=0,
isto é, x=0 ou x=1 junto com f=0. Para x=0 vem y=0 ou y=-tfrac32. Para x=1 vem
f(1,y)=2-3+2y^3+3y^2=2y^3+3y^2-1=0,
cuja solução real é y=-1 ou y=tfrac12. Assim os pontos são
(0,0),;(0,-tfrac32),;(1,-1),;(1,tfrac12)

Passo 5

Os pontos da curva f(x,y)=0 onde nenhuma das duas resoluções é garantida são aqueles em que simultaneamente partial f/partial x=0 e partial f/partial y=0. Já vimos que os únicos pontos críticos de f que satisfazem f(x,y)=0 são
(0,0) e (1,-1)

Resposta

Os quatro pontos onde nabla f=0 são
(0,0),;(0,-1),;(1,0),;(1,-1)
Os pontos da curva f(x,y)=0 onde o Teorema da Função Implícita não garante nem y=y(x) nem x=x(y) são
(0,0) e (1,-1)

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