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Uma esfera de raio r está a potencial V e está imersa em um meio condutor de condutividade \sigma. Calcule a corrente que flui da esfera para o infinito.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera condutora de raio r mantida a potencial V e imersa em um meio condutor homogêneo com condutividade \sigma. O meio se estende até o infinito. A pergunta é: qual é a corrente elétrica total que flui da esfera para o infinito?
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da esfera: \;r\;.
  • Potencial da superfície da esfera: \;V\;.
  • Condutividade do meio: \;\sigma\;.
  • No infinito o potencial é assumido como zero (condição natural quando se fala em “para o infinito”).
  • Queremos a corrente total estacionária que sai da esfera e atravessa qualquer superfície esférica centrada na esfera para o infinito.

Passo 2

Entendimento físico e equações básicas (passo-a-passo didático): em regime estacionário, não há acúmulo de carga no volume do condutor, então a densidade de corrente \mathbf{J} satisfaz a conservação \nabla\cdot\mathbf{J}=0. Além disso, em um condutor ôhmico local temos a lei de Ohm no ponto:
\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade e \mathbf{E} é o campo elétrico. O campo elétrico está ligado ao potencial escalar \varphi por
\mathbf{E} = -\nabla \varphi.
Combinando \nabla\cdot\mathbf{J}=0 e \mathbf{J}=\sigma(-\nabla\varphi) e supondo \sigma constante e diferente de zero, obtemos
\nabla\cdot(-\nabla\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad \nabla^2\varphi=0.
Ou seja, a função potencial \varphi no espaço externo à esfera satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Exploração da simetria e escolha de coordenadas: o problema é esfericamente simétrico (a esfera e o meio são homogêneos e não há outra fonte assimétrica), então o potencial depende apenas da distância radial ao centro. Denotamos por R a coordenada radial (distância ao centro da esfera). A versão radial do laplaciano para uma função que depende só de R é
\nabla^2\varphi(R)=\frac{1}{R^2}\frac{d}{dR}\!\left(R^2\frac{d\varphi}{dR}\right)=0.
Nossa região de interesse é R\ge r (fora da esfera).

Passo 4

Resolvendo a equação radial: a equação
\frac{1}{R^2}\frac{d}{dR}\!\left(R^2\frac{d\varphi}{dR}\right)=0
significa que a derivada do termo entre parênteses é zero, logo esse termo é uma constante C_1:
R^2\frac{d\varphi}{dR}=C_1.
Dividindo e integrando:
\frac{d\varphi}{dR}=\frac{C_1}{R^2}\quad\Rightarrow\quad \varphi(R)= -\frac{C_1}{R}+C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração que vamos determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno: sabemos que o potencial tende a zero no infinito, isto é \varphi(R)\to 0 quando R\to\infty. Pela forma \varphi(R)=-C_1/R + C_2, isso força C_2=0. Na superfície da esfera, R=r, temos \varphi(r)=V. Substituindo,
V = \varphi(r) = -\frac{C_1}{r}.
Logo C_1 = -V r. Assim o potencial no espaço fora da esfera fica
\varphi(R)=\frac{V r}{R}\quad\text{para}\; R\ge r.
Esse é o mesmo comportamento \propto 1/R que esperaríamos por simetria esférica.

Passo 6

Calculando o campo elétrico e a densidade de corrente: o campo elétrico radial é
E_R(R) = -\frac{d\varphi}{dR}.
Da expressão \varphi(R)=V r / R temos
\frac{d\varphi}{dR} = -\frac{V r}{R^2},
portanto
E_R(R) = -\left(-\frac{V r}{R^2}\right)=\frac{V r}{R^2}.
O vetor campo aponta radialmente para fora. A densidade de corrente radial é, pela lei de Ohm local,
J_R(R)=\sigma E_R(R)=\sigma\frac{V r}{R^2}.

Passo 7

Calculando a corrente total atravessando uma superfície esférica de raio R\ge r: a corrente total que sai do centro e atravessa essa superfície é o fluxo de \mathbf{J} através da superfície esférica. Como \mathbf{J} é radial e constante sobre a esfera de raio R, temos
I(R)=\iint_{\text{esfera}} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}=J_R(R)\cdot 4\pi R^2.
Substituindo J_R(R)=\sigma\frac{V r}{R^2} obtém-se
I(R)=\sigma\frac{V r}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = 4\pi \sigma V r.
Repare que o R^2 cancela: a corrente é independente do raio da superfície de integração (como tem que ser, por conservação de corrente em regime estacionário). Portanto a corrente total que flui da esfera para o infinito é
I = 4\pi \sigma V r.

Passo 8

Interpretação e checagens rápidas: dimensão física — \sigma tem unidades \mathrm{S/m}, V tem \mathrm{V}, r tem \mathrm{m}; multiplicando tudo por 4\pi dá unidade de corrente \mathrm{A}, ok. Uma forma útil de ver isso é dizer que a esfera em relação ao infinito tem resistência equivalente
R_{\text{eq}}=\frac{V}{I}=\frac{1}{4\pi\sigma r},
que é uma expressão clássica para a resistência entre uma esfera isolada e o infinito num meio condutor homogêneo. Força um cheirinho de intuição: quanto maior o raio r ou maior a condutividade \sigma, menor a resistência e maior a corrente para o mesmo V.

Resposta

I=4\pi\sigma V r

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