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Uma esfera de raio
está a potencial
e está imersa em um meio condutor de condutividade
. Calcule a corrente que flui da esfera para o infinito.
Uma esfera de raio
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera condutora de raio
mantida a potencial
e imersa em um meio condutor homogêneo com condutividade
. O meio se estende até o infinito. A pergunta é: qual é a corrente elétrica total que flui da esfera para o infinito?
Informações relevantes fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Potencial da superfície da esfera:
. - Condutividade do meio:
. - No infinito o potencial é assumido como zero (condição natural quando se fala em “para o infinito”).
- Queremos a corrente total estacionária que sai da esfera e atravessa qualquer superfície esférica centrada na esfera para o infinito.
Passo 2
Entendimento físico e equações básicas (passo-a-passo didático): em regime estacionário, não há acúmulo de carga no volume do condutor, então a densidade de corrente
satisfaz a conservação
. Além disso, em um condutor ôhmico local temos a lei de Ohm no ponto:
onde
é a condutividade e
é o campo elétrico. O campo elétrico está ligado ao potencial escalar
por
Combinando
e
e supondo
constante e diferente de zero, obtemos
Ou seja, a função potencial
no espaço externo à esfera satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Exploração da simetria e escolha de coordenadas: o problema é esfericamente simétrico (a esfera e o meio são homogêneos e não há outra fonte assimétrica), então o potencial depende apenas da distância radial ao centro. Denotamos por
a coordenada radial (distância ao centro da esfera). A versão radial do laplaciano para uma função que depende só de
é
Nossa região de interesse é
(fora da esfera).
Passo 4
Resolvendo a equação radial: a equação
significa que a derivada do termo entre parênteses é zero, logo esse termo é uma constante
:
Dividindo e integrando:
onde
e
são constantes de integração que vamos determinar pelas condições de contorno.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno: sabemos que o potencial tende a zero no infinito, isto é
quando
. Pela forma
, isso força
. Na superfície da esfera,
, temos
. Substituindo,
Logo
. Assim o potencial no espaço fora da esfera fica
Esse é o mesmo comportamento
que esperaríamos por simetria esférica.
Passo 6
Calculando o campo elétrico e a densidade de corrente: o campo elétrico radial é
Da expressão
temos
portanto
O vetor campo aponta radialmente para fora. A densidade de corrente radial é, pela lei de Ohm local,
Passo 7
Calculando a corrente total atravessando uma superfície esférica de raio
: a corrente total que sai do centro e atravessa essa superfície é o fluxo de
através da superfície esférica. Como
é radial e constante sobre a esfera de raio
, temos
Substituindo
obtém-se
Repare que o
cancela: a corrente é independente do raio da superfície de integração (como tem que ser, por conservação de corrente em regime estacionário). Portanto a corrente total que flui da esfera para o infinito é
Passo 8
Interpretação e checagens rápidas: dimensão física —
tem unidades
,
tem
,
tem
; multiplicando tudo por
dá unidade de corrente
, ok. Uma forma útil de ver isso é dizer que a esfera em relação ao infinito tem resistência equivalente
que é uma expressão clássica para a resistência entre uma esfera isolada e o infinito num meio condutor homogêneo. Força um cheirinho de intuição: quanto maior o raio
ou maior a condutividade
, menor a resistência e maior a corrente para o mesmo
.