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Duas esferas, com potenciais
e 0 , têm seus centros nas posições
, onde
. Para pontos equidistantes das duas esferas (isto é, no plano
e situados bem longe (
), calcule a densidade de corrente J.
Duas esferas, com potenciais
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Duas esferas metálicas pequenas (raio
, com ) têm seus centros nas posições e . - As esferas são mantidas em potenciais
(a esfera em ) e (a esfera em ). - Precisamos calcular a densidade de corrente
para pontos equidistantes das duas esferas — isto é, no plano médio entre elas (o plano ) — e situados bem longe do par de esferas (distância do ponto ao centro do sistema ). - Não é dito explicitamente no enunciado, então assumimos que as esferas estão imersas num meio contínuo e homogêneo com condutividade elétrica
. Em meio condutor em regime estacionário vale .
O objetivo concreto: achar
(direção e módulo) nos pontos do plano
a grande distância
.
Passo 2
Modelo físico e aproximação que vamos usar (por que é válida):
- Como
as esferas são “pequenas” e podem ser tratadas, para o campo à distância grande, como carregamentos pontuais (multipolos). - A diferença de potencial entre as esferas é
. Potencial absoluto tem um grau de liberdade aditivo: podemos subtrair de todas as potencias sem alterar os campos elétricos. Assim, em relação a essa nova referência as potências ficam (em ) e (em ). Essa escolha faz com que a carga total seja aproximadamente zero — portanto, no campo à distância o termo dominante será o dipolo elétrico (e não o monopolo). Essa escolha é uma técnica padrão: campos dependem apenas de diferenças de potencial. - Logo, no regime
a potencial elétrico do sistema é bem aproximado pelo potencial de um dipolo com momento alinhado ao eixo .
Vou agora calcular o momento dipolar e, a partir dele, o campo
longe, e em seguida
.
Passo 3
Capacitância aproximada de uma esfera isolada pequena e carga aproximada:
- A capacitância de uma esfera metálica isolada de raio
(no infinito) é aproximadamente
onde
é a permissividade do meio (no vácuo
, mas deixamos
genérico se o meio dielétrico não for o vácuo).
- Se a esfera em
está a potencial (pela escolha da referência feita no passo anterior) sua carga aproximada é
- A outra esfera em
terá carga pela escolha simétrica ( ), de modo que a carga total se anula (consistente com a hipótese de dipolo).
Passo 4
Cálculo do momento dipolar
:
- As duas cargas
estão em . O momento dipolar (vetorial) definido em relação à origem (meio entre as esferas) é
- Substituindo
:
Passo 5
Potencial e campo elétrico do dipolo distante (fórmulas usadas e explicação):
- Para um dipolo
localizado na origem, o potencial a grande distância (primeiro termo não nulo após zerar o monopolo) é
onde
e
.
- O campo elétrico em coordenadas esféricas (componentes radial
e polar ) para esse dipolo é
onde
e
é o ângulo polar medido a partir do eixo
.
- Observação importante: essas relações vêm de
. Elas mostram como o campo decai rapidamente: .
Passo 6
Aplicação ao plano equidistante
(ângulo
) e pontos a distância
:
- No plano
temos . Substituindo nas fórmulas de e obtemos e
- Como
-hat no equador (plano ) aponta na direção negativa do eixo (isto é, naquele plano), o vetor campo ali é
- Agora substituímos
(do Passo 4) para simplificar:
Observe que a permissividade
cancelou — bom sinal de consistência.
Passo 7
Passo final: densidade de corrente
usando
:
- Multiplicando o campo por
obtemos
- Interpretação: no plano equidistante
e a grande distância , a corrente está dirigida ao longo do eixo , do eletrodo em potencial mais alto para o em potencial mais baixo (ou seja, no sentido se o está em ), com módulo
- Essa expressão é válida na aproximação de esferas pequenas
e distâncias de observação grandes .