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Duas esferas, com potenciais +V e 0 , têm seus centros nas posições z= \pm d, onde d \gg r. Para pontos equidistantes das duas esferas (isto é, no plano y z) e situados bem longe ( \gg d ), calcule a densidade de corrente J.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Duas esferas metálicas pequenas (raio r, com d\gg r) têm seus centros nas posições z=+d e z=-d.
  • As esferas são mantidas em potenciais +V (a esfera em z=+d) e 0 (a esfera em z=-d).
  • Precisamos calcular a densidade de corrente \mathbf{J} para pontos equidistantes das duas esferas — isto é, no plano médio entre elas (o plano z=0) — e situados bem longe do par de esferas (distância do ponto ao centro do sistema \;R\gg d).
  • Não é dito explicitamente no enunciado, então assumimos que as esferas estão imersas num meio contínuo e homogêneo com condutividade elétrica \sigma. Em meio condutor em regime estacionário vale \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}.
O objetivo concreto: achar \mathbf{J} (direção e módulo) nos pontos do plano z=0 a grande distância R\gg d.

Passo 2

Modelo físico e aproximação que vamos usar (por que é válida):
  • Como r\ll d as esferas são “pequenas” e podem ser tratadas, para o campo à distância grande, como carregamentos pontuais (multipolos).
  • A diferença de potencial entre as esferas é V. Potencial absoluto tem um grau de liberdade aditivo: podemos subtrair V/2 de todas as potencias sem alterar os campos elétricos. Assim, em relação a essa nova referência as potências ficam +V/2 (em z=+d) e -V/2 (em z=-d). Essa escolha faz com que a carga total seja aproximadamente zero — portanto, no campo à distância o termo dominante será o dipolo elétrico (e não o monopolo). Essa escolha é uma técnica padrão: campos dependem apenas de diferenças de potencial.
  • Logo, no regime R\gg d a potencial elétrico \Phi(\mathbf{r}) do sistema é bem aproximado pelo potencial de um dipolo com momento \mathbf{p} alinhado ao eixo z.
Vou agora calcular o momento dipolar e, a partir dele, o campo \mathbf{E} longe, e em seguida \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}.

Passo 3

Capacitância aproximada de uma esfera isolada pequena e carga aproximada:
  • A capacitância de uma esfera metálica isolada de raio r (no infinito) é aproximadamente
C \approx 4\pi\varepsilon\, r,
onde \varepsilon é a permissividade do meio (no vácuo \varepsilon_0, mas deixamos \varepsilon genérico se o meio dielétrico não for o vácuo).
  • Se a esfera em z=+d está a potencial +V/2 (pela escolha da referência feita no passo anterior) sua carga aproximada é
q \approx C\cdot\frac{V}{2} \approx 4\pi\varepsilon\, r\cdot\frac{V}{2}.
  • A outra esfera em z=-d terá carga -q pela escolha simétrica ( -V/2), de modo que a carga total se anula (consistente com a hipótese de dipolo).

Passo 4

Cálculo do momento dipolar \mathbf{p}:
  • As duas cargas \pm q estão em z=\pm d. O momento dipolar (vetorial) definido em relação à origem (meio entre as esferas) é
\mathbf{p} = q\,(+d\,\hat{\mathbf{z}}) + (-q)\,(-d\,\hat{\mathbf{z}}) = 2 q d\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Substituindo q:
\mathbf{p} = 2\left(4\pi\varepsilon\, r\cdot\frac{V}{2}\right) d\,\hat{\mathbf{z}} = 4\pi\varepsilon\, r d\, V\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 5

Potencial e campo elétrico do dipolo distante (fórmulas usadas e explicação):
  • Para um dipolo \mathbf{p} localizado na origem, o potencial a grande distância (primeiro termo não nulo após zerar o monopolo) é
\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde r=|\mathbf{r}| e \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
  • O campo elétrico em coordenadas esféricas (componentes radial E_{r} e polar E_{\theta}) para esse dipolo é
E_{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{2p\cos\theta}{r^{3}},\qquad E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{p\sin\theta}{r^{3}},
onde p=|\mathbf{p}| e \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z.
  • Observação importante: essas relações vêm de \mathbf{E}=-\nabla\Phi. Elas mostram como o campo decai rapidamente: E\sim 1/r^{3}.

Passo 6

Aplicação ao plano equidistante z=0 (ângulo \theta=\pi/2) e pontos a distância R\gg d:
  • No plano z=0 temos \theta=\pi/2. Substituindo \theta=\pi/2 nas fórmulas de E_{r} e E_{\theta} obtemos E_{r}=0 e
E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{p\sin(\pi/2)}{R^{3}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{p}{R^{3}}.
  • Como \theta-hat no equador (plano z=0) aponta na direção negativa do eixo z (isto é, \hat{\boldsymbol{\theta}}=-\hat{\mathbf{z}} naquele plano), o vetor campo ali é
\mathbf{E} = E_{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\theta}} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{p}{R^{3}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Agora substituímos p=4\pi\varepsilon\, r d V (do Passo 4) para simplificar:
\mathbf{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon}\,\frac{4\pi\varepsilon\, r d V}{R^{3}}\,\hat{\mathbf{z}} = -\frac{r d V}{R^{3}}\,\hat{\mathbf{z}}.
Observe que a permissividade \varepsilon cancelou — bom sinal de consistência.

Passo 7

Passo final: densidade de corrente \mathbf{J} usando \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}:
  • Multiplicando o campo por \sigma obtemos
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E} = -\sigma\,\frac{r d V}{R^{3}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Interpretação: no plano equidistante z=0 e a grande distância R, a corrente está dirigida ao longo do eixo z, do eletrodo em potencial mais alto para o em potencial mais baixo (ou seja, no sentido -\hat{\mathbf{z}} se o +V está em +d), com módulo
J=\sigma\,\frac{r d V}{R^{3}}.
  • Essa expressão é válida na aproximação de esferas pequenas r\ll d e distâncias de observação grandes R\gg d.

Resposta

\displaystyle \mathbf{J}=-\sigma\,\frac{r d V}{R^{3}}\,\hat{\mathbf{z}}

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