10 Um fio de cobre de raio 0,0815 \mathrm{~cm} transporta uma corrente de 1 A . Calcule a densidade de corrente e a velocidade média dos elétrons de condução. (A massa atómica do cobre é 63,5 , e a sua massa volumétrica 8,92 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, e por cada átomo de cobre existe aproximadamente um elétron de condução.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • raio do fio: r=0,0815\\ \mathrm{cm}.
    • corrente: I=1\\ \mathrm{A}.
    • massa atómica do cobre: A=63,5 (ou seja, massa molar M=63,5\\ \mathrm{g/mol}).
    • massa volumétrica (densidade) do cobre: \rho_{\text{m}}=8,92\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • há, em média, um elétron de condução por átomo de cobre (portanto 1 elétron livre por átomo).
  • O enunciado pergunta:
    1. A densidade de corrente no fio (ou seja, J).
    2. A velocidade média (velocidade de deriva) dos elétrons de condução v_{\text{d}}.

Passo 2

Primeiro converto unidades para o SI e escrevo a fórmula da densidade de corrente.
  • Conversão do raio para metros:
    r=0,0815\\ \mathrm{cm}=8,15\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Área da secção transversal do fio:
    A=\pi r^{2}.
    Calculo passo a passo:
    r^{2}=(8,15\times10^{-4})^{2}=6,64225\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}},
A=\pi\cdot6,64225\times10^{-7}=2,087\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}} \quad(\text{aprox.}).
  • Definição de densidade de corrente: a densidade de corrente é a corrente por unidade de área, J=\frac{I}{A}.Substituindo os valores: J=\frac{1\\ \mathrm{A}}{2,087\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}}=4,79\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Comentário rápido (didático): J mede quão “concentrada” a corrente está na secção do fio; unidades são \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 3

Agora vou determinar a densidade numérica de elétrons de condução n (nº de elétrons por unidade de volume), usando a densidade do metal e a massa molar.
  • Converter a densidade para o SI:
    \rho_{\text{m}}=8,92\\ \mathrm{g/cm^{3}}=8,92\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=8920\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Converter a massa molar para kg/mol:
    M=63,5\\ \mathrm{g/mol}=0,0635\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Número de mols por metro cúbico:
    \frac{\rho_{\text{m}}}{M}=\frac{8920}{0,0635}=1,4047\times10^{5}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
  • Número de átomos (ou elétrons de condução, pois 1 elétron por átomo) por metro cúbico:
    n=\frac{\rho_{\text{m}}}{M}\,N_{A},
    onde N_{A}=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} é o número de Avogadro. Assim
    n=1,4047\times10^{5}\times6,022\times10^{23}=8,46\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}\quad(\text{aprox.}).
Explicação didática: essa fórmula conta quantos mols existem num metro cúbico e multiplica por N_{A} para obter o número de átomos; como há 1 elétron livre por átomo, isso dá a densidade de elétrons livres.

Passo 4

Com J e n calculados, uso a relação entre densidade de corrente e velocidade de deriva.
  • Relação básica: a densidade de corrente para portadores de carga com carga q, densidade n e velocidade média v_{\text{d}} é
    J=n q v_{\text{d}}.
    Para elétrons, q=-e (sinal negativo indica direção oposta ao sentido convencional da corrente), mas em módulo usamos e, com
    e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Isolando v_{\text{d}} em módulo:
    v_{\text{d}}=\frac{J}{n e}.
  • Substituindo os valores numéricos:
    n e=(8,46\times10^{28})\times(1,602\times10^{-19})=1,356\times10^{10}\\ \mathrm{C/m^{3}}.
v_{\text{d}}=\frac{4,79\times10^{5}}{1,356\times10^{10}}=3,53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
  • Conversão conveniente: 3,53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}=35\\ \mu\mathrm{m/s} (ou 0,035\\ \mathrm{mm/s}).
Comentário didático: esse resultado mostra que, embora os elétrons tenham velocidades térmicas muito altas, a velocidade média de deriva devido à corrente elétrica é muito pequena — é por isso que a corrente elétrica se propaga rapidamente (campo elétrico), enquanto os elétrons “andam devagar”.

Passo 5

Verificação rápida de consistência e arredondamentos: usei arredondamentos razoáveis nas etapas intermediárias; números são apresentados com 3 algarismos significativos, compatível com dados fornecidos.

Resposta

J=4,79\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}
v_{\text{d}}=3,53\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}=35\\ \mu\mathrm{m/s}

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