10 Um fio de cobre de raio
transporta uma corrente de 1 A . Calcule a densidade de corrente e a velocidade média dos elétrons de condução. (A massa atómica do cobre é 63,5 , e a sua massa volumétrica
, e por cada átomo de cobre existe aproximadamente um elétron de condução.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- raio do fio:
. - corrente:
. - massa atómica do cobre:
(ou seja, massa molar ). - massa volumétrica (densidade) do cobre:
. - há, em média, um elétron de condução por átomo de cobre (portanto
elétron livre por átomo).
- raio do fio:
-
O enunciado pergunta:
- A densidade de corrente no fio (ou seja,
). - A velocidade média (velocidade de deriva) dos elétrons de condução
.
- A densidade de corrente no fio (ou seja,
Passo 2
Primeiro converto unidades para o SI e escrevo a fórmula da densidade de corrente.
-
Conversão do raio para metros:
-
Área da secção transversal do fio:Calculo passo a passo:
- Definição de densidade de corrente: a densidade de corrente é a corrente por unidade de área,
Substituindo os valores:
Comentário rápido (didático):
mede quão “concentrada” a corrente está na secção do fio; unidades são
.
Passo 3
Agora vou determinar a densidade numérica de elétrons de condução
(nº de elétrons por unidade de volume), usando a densidade do metal e a massa molar.
-
Converter a densidade para o SI:
-
Converter a massa molar para kg/mol:
-
Número de mols por metro cúbico:
-
Número de átomos (ou elétrons de condução, pois 1 elétron por átomo) por metro cúbico:onde
é o número de Avogadro. Assim
Explicação didática: essa fórmula conta quantos mols existem num metro cúbico e multiplica por
para obter o número de átomos; como há 1 elétron livre por átomo, isso dá a densidade de elétrons livres.
Passo 4
Com
e
calculados, uso a relação entre densidade de corrente e velocidade de deriva.
-
Relação básica: a densidade de corrente para portadores de carga com carga
, densidade e velocidade média é Para elétrons,(sinal negativo indica direção oposta ao sentido convencional da corrente), mas em módulo usamos , com -
Isolando
em módulo: -
Substituindo os valores numéricos:
- Conversão conveniente:
(ou ).
Comentário didático: esse resultado mostra que, embora os elétrons tenham velocidades térmicas muito altas, a velocidade média de deriva devido à corrente elétrica é muito pequena — é por isso que a corrente elétrica se propaga rapidamente (campo elétrico), enquanto os elétrons “andam devagar”.
Passo 5
Verificação rápida de consistência e arredondamentos: usei arredondamentos razoáveis nas etapas intermediárias; números são apresentados com 3 algarismos significativos, compatível com dados fornecidos.