An agricultural sprinkler distributes water in a circular pattern of radius 100 ft . It supplies water to a depth of e^-r feet per hour at a distance of r feet from the sprinkler.
(a) If 0, what is the total amount of water supplied per hour to the region inside the circle of radius R centered at the sprinkler?
(b) Determine an expression for the average amount of water per hour per square foot supplied to the region inside the circle of radius R.

Passo 1

A questão trata de um aspersor que, a uma distância r do centro, fornece água a uma taxa de profundidade de e^-r pés por hora. Precisamos usar cálculo em coordenadas polares para achar (a) o volume total de água por hora dentro de um círculo de raio R e (b) a média desse volume por área.

Passo 2

Para montar o volume por hora, em coordenadas polares cada anel de raio r e espessura dr tem área dA = r,dr,dtheta, e a profundidade é e^-r. Logo
V(R)=integral0^2piintegral0^Re^-r,r,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em theta de 0 a 2pi, obtendo
V(R)=2piintegral0^Rr e^-r,dr

Passo 4

Para integral0^R r e^-r,dr usamos integração por partes (ou fórmula conhecida):
integral r e^-r,dr = -e^-r(r+1)+C

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a R
integral0^R r e^-r,dr =l[-e^-r(r+1)r]0^R = 1 - (R+1)e^-R

Passo 6

Substituindo em V(R):
V(R)=2pil[1-(R+1)e^-Rr]

Passo 7

A média por pé quadrado é o volume dividido pela área pi R^2:
Média(R)=V(R)pi R^2=2pil[1-(R+1)e^-Rr]pi R^2=21-(R+1)e^-RR^2é

Resposta

a) V(R)=2pil[1-(R+1)e^-Rr]
b) Média(R)=21-(R+1)e^-RR^2é

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