An agricultural sprinkler distributes water in a circular pattern of radius 100 ft . It supplies water to a depth of
feet per hour at a distance of
feet from the sprinkler.
(a) If
, what is the total amount of water supplied per hour to the region inside the circle of radius
centered at the sprinkler?
(b) Determine an expression for the average amount of water per hour per square foot supplied to the region inside the circle of radius
.
(a) If
(b) Determine an expression for the average amount of water per hour per square foot supplied to the region inside the circle of radius
Passo 1
A questão trata de um aspersor que, a uma distância r do centro, fornece água a uma taxa de profundidade de
pés por hora. Precisamos usar cálculo em coordenadas polares para achar (a) o volume total de água por hora dentro de um círculo de raio
e (b) a média desse volume por área.
Passo 2
Para montar o volume por hora, em coordenadas polares cada anel de raio
e espessura
tem área
, e a profundidade é
. Logo
Passo 3
Integramos primeiro em
de 0 a
, obtendo
Passo 4
Para
usamos integração por partes (ou fórmula conhecida):
Passo 5
Aplicando os limites de 0 a
dá
Passo 6
Substituindo em
:
Passo 7
A média por pé quadrado é o volume dividido pela área
:
Resposta
a)
b)
b)