Questão 6. Um protótipo de automóvel é projetado para clima frio em Denver \left(-10^{\circ} \mathrm{C}, 83\right. kPa ). Sua força de arrasto deve ser testada em um modelo com a escala de um para sete em um túnel de vento a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Se o modelo e o protótipo devem satisfazer a semelhança dinâmica, qual a velocidade do protótipo, em km/h, necessária para a comparação?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Condições do protótipo (Denver): temperatura \,T_p = -10^\circ\mathrm{C} = 263{,}15\\ \mathrm{K}\, e pressão \,p_p = 83\\ \mathrm{kPa} = 83\,000\\ \mathrm{Pa}\,.
    • Condições do túnel de vento (modelo): temperatura \,T_m = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}\, e pressão \,p_m = 1\\ \mathrm{atm} = 101\,325\\ \mathrm{Pa}\,.
    • Escala linear do modelo: escala de um para sete, isto é, \,L_m = L_p/7\, ou \,L_m/L_p = 1/7\,.
  • O que o enunciado pede:
    • “Qual a velocidade do protótipo, em km/h, necessária para a comparação?” — isto significa: encontrar a velocidade do protótipo que garante semelhança dinâmica entre protótipo e modelo.
  • Informação faltante para dar um único valor numérico: o enunciado não especifica a velocidade do modelo no túnel de vento ( V_m). Para obter uma velocidade numérica do protótipo é necessário saber qual é V_m.
  • O que eu vou fazer: vou deduzir a relação matemática que dá a velocidade do protótipo V_p em função da velocidade do modelo V_m, calcular todas as propriedades do ar necessárias nas duas condições (densidade e viscosidade) e então apresentar o fator numérico que relaciona V_p e V_m. Assim, com esse fator qualquer velocidade do modelo pode ser convertida em velocidade equivalente do protótipo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Para semelhança dinâmica de arrasto entre modelo e protótipo, o parâmetro principal a igualar é o número de Reynolds. O número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento e é definido por:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V L}{\mu},
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • V é a velocidade característica (m/s),
  • L é a dimensão linear característica (m),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).
  • Condição de semelhança dinâmica (igualdade dos Reynolds entre protótipo e modelo):
\mathrm{Re}_p=\mathrm{Re}_m.
  • Desenvolvendo a igualdade:
\frac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p}=\frac{\rho_m V_m L_m}{\mu_m}.
Isolando V_p:
V_p=\frac{\rho_m}{\rho_p}\,\frac{\mu_p}{\mu_m}\,\frac{L_m}{L_p}\,V_m.
Vou calcular todos os fatores numéricos à direita para obter a relação entre V_p e V_m.

Passo 3

Cálculo das densidades usando a equação dos gases ideais (aula curta).
  • Fórmula da densidade do ar:
\rho=\frac{p}{R\,T},
onde R é a constante específica do ar \,R=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Para o protótipo (peguei p_p e T_p do enunciado):
\rho_p=\frac{83\,000}{287{,}05\cdot 263{,}15}\approx 1{,}0986\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Para o modelo (peguei p_m e T_m do enunciado):
\rho_m=\frac{101\,325}{287{,}05\cdot 293{,}15}\approx 1{,}2039\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicação rápida: dividir pressão pela (constante × temperatura) dá massa por volume — sensação de “ar mais rarefeito em Denver” aparece porque \rho_p<\rho_m.

Passo 4

Cálculo das viscosidades usando a Lei de Sutherland (aula prática).
  • A viscosidade do ar varia com a temperatura; uma aproximação precisa é a Lei de Sutherland:
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
onde valores típicos para o ar são:
  • \mu_0=1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K},
  • S=110{,}4\\ \mathrm{K} (constante de Sutherland).
  • Para o protótipo ( T_p=263{,}15\\ \mathrm{K}):
\mu_p \approx 1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{263{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15+110{,}4}{263{,}15+110{,}4}\approx 1{,}667\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Para o modelo ( T_m=293{,}15\\ \mathrm{K}):
\mu_m \approx 1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{293{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15+110{,}4}{293{,}15+110{,}4}\approx 1{,}812\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Observação: a viscosidade aumenta com a temperatura; por isso \mu_m>\mu_p.

Passo 5

Substituição numérica na relação entre velocidades e obtenção do fator.
  • Relembrando a fórmula:
V_p=\frac{\rho_m}{\rho_p}\,\frac{\mu_p}{\mu_m}\,\frac{L_m}{L_p}\,V_m.
  • Já temos \rho_m/\rho_p, \mu_p/\mu_m e L_m/L_p=1/7. Calcule cada razão:
\frac{\rho_m}{\rho_p}\approx\frac{1{,}2039}{1{,}0986}\approx 1{,}0958,
\frac{\mu_p}{\mu_m}\approx\frac{1{,}667\times10^{-5}}{1{,}812\times10^{-5}}\approx 0{,}9202,
\frac{L_m}{L_p}=\frac{1}{7}\approx 0{,}142857.
  • Multiplicando os fatores:
\frac{\rho_m}{\rho_p}\cdot\frac{\mu_p}{\mu_m}\cdot\frac{L_m}{L_p}\approx 1{,}0958\times 0{,}9202\times 0{,}142857\approx 0{,}1526.
  • Portanto:
V_p\approx 0{,}1526\;V_m,
onde V_p e V_m estão em m/s se V_m estiver em m/s.

Passo 6

Interpretação prática e conversão para km/h (exemplo para fixar a ideia).
  • A relação V_p\approx 0{,}1526\,V_m diz que a velocidade do protótipo é cerca de 15{,}26\% da velocidade do modelo no túnel, por causa da escala 1:7 e das diferenças de densidade/viscosidade entre as condições.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h}. Assim:
V_p\\ (\mathrm{km/h}) \approx 3{,}6\times 0{,}1526\\ V_m \\ (\mathrm{m/s}) \approx 0{,}5494\\ V_m\\ (\mathrm{m/s}).
  • Exemplo numérico (apenas para referência): se o modelo for testado a V_m=30\\ \mathrm{m/s} no túnel, então
V_p\approx 0{,}1526\times 30\\ \mathrm{m/s}=4{,}58\\ \mathrm{m/s}\approx 16{,}48\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

\displaystyle V_p \approx 0{,}1526\,V_m (velocidades em \mathrm{m/s}; V_m é a velocidade do modelo no túnel)\newline
Ex.: se V_m=30\\ \mathrm{m/s} então V_p\approx 4{,}58\\ \mathrm{m/s}=16{,}48\\ \mathrm{km/h}.

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