Questão 6. Um protótipo de automóvel é projetado para clima frio em Denver
kPa ). Sua força de arrasto deve ser testada em um modelo com a escala de um para sete em um túnel de vento a
e 1 atm . Se o modelo e o protótipo devem satisfazer a semelhança dinâmica, qual a velocidade do protótipo, em km/h, necessária para a comparação?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos:
- Condições do protótipo (Denver): temperatura
e pressão . - Condições do túnel de vento (modelo): temperatura
e pressão . - Escala linear do modelo: escala de um para sete, isto é,
ou .
- Condições do protótipo (Denver): temperatura
- O que o enunciado pede:
- “Qual a velocidade do protótipo, em km/h, necessária para a comparação?” — isto significa: encontrar a velocidade do protótipo que garante semelhança dinâmica entre protótipo e modelo.
- Informação faltante para dar um único valor numérico: o enunciado não especifica a velocidade do modelo no túnel de vento (
). Para obter uma velocidade numérica do protótipo é necessário saber qual é . - O que eu vou fazer: vou deduzir a relação matemática que dá a velocidade do protótipo
em função da velocidade do modelo , calcular todas as propriedades do ar necessárias nas duas condições (densidade e viscosidade) e então apresentar o fator numérico que relaciona e . Assim, com esse fator qualquer velocidade do modelo pode ser convertida em velocidade equivalente do protótipo.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Para semelhança dinâmica de arrasto entre modelo e protótipo, o parâmetro principal a igualar é o número de Reynolds. O número de Reynolds mede a razão entre forças inerciais e forças viscosas no escoamento e é definido por:
onde:
-
é a densidade do fluido (kg/m³), -
é a velocidade característica (m/s), -
é a dimensão linear característica (m), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s). - Condição de semelhança dinâmica (igualdade dos Reynolds entre protótipo e modelo):
- Desenvolvendo a igualdade:
Isolando
:
Vou calcular todos os fatores numéricos à direita para obter a relação entre
e
.
Passo 3
Cálculo das densidades usando a equação dos gases ideais (aula curta).
- Fórmula da densidade do ar:
onde
é a constante específica do ar
.
- Para o protótipo (peguei
e do enunciado):
- Para o modelo (peguei
e do enunciado):
Explicação rápida: dividir pressão pela (constante × temperatura) dá massa por volume — sensação de “ar mais rarefeito em Denver” aparece porque
.
Passo 4
Cálculo das viscosidades usando a Lei de Sutherland (aula prática).
- A viscosidade do ar varia com a temperatura; uma aproximação precisa é a Lei de Sutherland:
onde valores típicos para o ar são:
-
em , -
(constante de Sutherland). - Para o protótipo (
):
- Para o modelo (
):
Observação: a viscosidade aumenta com a temperatura; por isso
.
Passo 5
Substituição numérica na relação entre velocidades e obtenção do fator.
- Relembrando a fórmula:
- Já temos
, e . Calcule cada razão:
- Multiplicando os fatores:
- Portanto:
onde
e
estão em m/s se
estiver em m/s.
Passo 6
Interpretação prática e conversão para km/h (exemplo para fixar a ideia).
- A relação
diz que a velocidade do protótipo é cerca de da velocidade do modelo no túnel, por causa da escala 1:7 e das diferenças de densidade/viscosidade entre as condições. - Conversão:
. Assim:
- Exemplo numérico (apenas para referência): se o modelo for testado a
no túnel, então
Resposta
Ex.: se