10.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{3 x d x}{\left(3 x^{2}+2\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{3x}{\bigl(3x^{2}+2\bigr)^{3}}\,dx.
O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalos ilimitados e a propriedade de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro verificamos a convergência da integral imprópria. Para |x|\to\infty, temos
\left|\frac{3x}{(3x^{2}+2)^{3}}\right| \approx\frac{3|x|}{(3x^{2})^{3}} =\frac{3|x|}{27\,x^{6}} =\frac{1}{9|x|^{5}}.
Como \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{|x|^{5}}\,dx é convergente, a nossa integral converge absolutamente nos extremos.

Passo 3

Observamos que a função
f(x)=\frac{3x}{(3x^{2}+2)^{3}}
é ímpar, pois
f(-x)=\frac{3(-x)}{(3(-x)^{2}+2)^{3}} =-\frac{3x}{(3x^{2}+2)^{3}} =-f(x).
Para uma função ímpar integrável de -\infty a \infty, a área positiva cancela a negativa, logo
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=0.

Resposta

0

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