1. Mostre que:
x+\frac{1}{x} \geq 2, \quad \forall x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \,x + \frac{1}{x} \ge 2 para todo x>0. O conteúdo envolve desigualdades e usaremos a propriedade de que o quadrado de um número real é sempre não negativo.

Passo 2

Para todo real y vale
y^2 \ge 0.
Tomando y = x - 1, obtemos
(x - 1)^2 \ge 0.

Passo 3

Expandindo a desigualdade (x - 1)^2 \ge 0, temos
x^2 - 2x + 1 \ge 0,
o que é equivalente a
x^2 + 1 \ge 2x.

Passo 4

Como x>0, dividimos ambos os lados de x^2 + 1 \ge 2x por x, obtendo
x + \frac{1}{x} \ge 2.

Resposta

Concluímos que \,x + \frac{1}{x} \ge 2 para todo x>0.

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