15.
\int_{e}^{\infty} \frac{d x}{x(\ln x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral impróprio
\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^{2}}
Este é um caso de integral do tipo 1 com limite superior infinito. Vamos usar a substituição t = \ln x para transformar em um integral mais simples.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
t = \ln x \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{dx}{x}
Quando x = e, temos t = 1. Quando x \to \infty, temos t \to \infty. Logo
\int_{e}^{\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^{2}} = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t^{2}}\,dt.

Passo 3

O integral
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{t^{2}}\,dt
é um caso padrão. Calculamos
\int \frac{1}{t^{2}}\,dt = -\frac{1}{t} + C.
Portanto, avaliando de 1 até \infty:
\biggl[-\frac{1}{t}\biggr]_{1}^{\infty} = \left(0\right) - \left(-1\right) = 1.

Passo 4

Concluímos que o integral converge e o seu valor é 1.

Resposta

O valor do integral é 1.

Exercícios relacionados