Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
f(x)=\frac{x+3}{\left|x^{2}-9\right|}, \quad a=-3

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de
f(x)=\frac{x+3}{\lvert x^2-9\rvert}
no ponto a=-3.
O conteúdo necessário é o cálculo de limites unilaterais de função com valor absoluto, usando a definição de \lvert u\rvert em termos do sinal de u.

Passo 2

Para tratar o valor absoluto, fatoramos
x^2-9=(x-3)(x+3).
  • Se x< -3, então x-3<0 e x+3<0, logo (x-3)(x+3)>0 e
\lvert x^2-9\rvert = x^2-9.
  • Se x> -3, então x-3<0 e x+3>0, logo (x-3)(x+3)<0 e
\lvert x^2-9\rvert = -(x^2-9).

Passo 3

Para x\to -3^-, temos \lvert x^2-9\rvert = x^2-9 e
f(x)=\frac{x+3}{x^2-9} =\frac{x+3}{(x-3)(x+3)} =\frac{1}{x-3},
para x\neq -3. Portanto
\lim_{x\to -3^-}f(x) =\lim_{x\to -3^-}\frac{1}{x-3} =\frac{1}{-3-3} =-\tfrac{1}{6}.

Passo 4

Para x\to -3^+, temos \lvert x^2-9\rvert = -(x^2-9) e
f(x)=\frac{x+3}{-(x^2-9)} =-\frac{x+3}{(x-3)(x+3)} =-\frac{1}{x-3}.
Logo
\lim_{x\to -3^+}f(x) =\lim_{x\to -3^+}\bigl(-\tfrac{1}{x-3}\bigr) =-\frac{1}{-3-3} =+\tfrac{1}{6}.

Resposta

\lim_{x\to -3^-}f(x)=-\tfrac{1}{6}, \qquad \lim_{x\to -3^+}f(x)=\tfrac{1}{6}.

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