1 Determine o ângulo interno, correspondente ao vértice C, do triângulo cujos vértices são A(1,7,6), B(3,4,4) e C=(4,5,2).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,7,6), B(3,4,4) e C(4,5,2) e pede o ângulo interno em C do triângulo ABC. Vamos usar vetores no espaço, produto escalar e normas para encontrar o cosseno do ângulo em C, e depois aplicar \operatorname{arccos}.

Passo 2

Formamos os vetores que partem de C para A e para B:
\vec{CA} = A - C = (1-4,\;7-5,\;6-2) = (-3,\,2,\,4),
\vec{CB} = B - C = (3-4,\;4-5,\;4-2) = (-1,\,-1,\,2).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas desses vetores:
\vec{CA}\cdot\vec{CB} = (-3)(-1) + 2\cdot(-1) + 4\cdot2 = 3 - 2 + 8 = 9.
\|\vec{CA}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{29}, \quad \|\vec{CB}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}.

Passo 4

Pela definição de cosseno entre vetores,
\cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA}\cdot\vec{CB}}{\|\vec{CA}\|\:\|\vec{CB}\|} = \frac{9}{\sqrt{29}\,\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{174}}.
Portanto
\angle ACB = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{9}{\sqrt{174}}\Bigr).

Resposta

\angle ACB = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{9}{\sqrt{174}}\bigr)\approx 47^\circ.

Exercícios relacionados