3.10.5 Matrizes inversas

Exercício 3.10.36. Verificar que os seguintes pares de matrizes são uma a inversa da outra:
cc A1=(cc 13 & 5 5 & 2 ), & A2=(cc 2 & -5 -5 & 13 ), B1=(ccc -1 & 2 & -3 2 & 1 & 0 4 & -2 & 5 ), & B2=(ccc -5 & 4 & -3 10 & -7 & 6 8 & -6 & 5 ), C1=(ccc 3 & -1 & 1 -2 & 1 & 1 1 & -1 & -2 ), & C2=(ccc -1 & -3 & -2 -3 & -7 & -5 1 & 2 & 1 )
Além disto calcular as inversas das seguintes matrizes 5 A1, B1 C1, 2 C1 B2^T.

Passo 1

O enunciado pede duas tarefas:
  1. Verificar que os pares (A1,A2), (B1,B2) e (C1,C2) são de matrizes inversas, isto é, que cada produto vale a identidade. Para isso usamos multiplicação de matrizes.
  2. Calcular as inversas de 5A1, de B1C1 e de 2,C1B2^T usando as propriedades
(AB)^-1=B^-1A^-1, (cA)^-1=1cA^-1, (A^T)^-1=(A^-1)^T

Passo 2

Verificação dos pares inversos:
– Para A1A2:
A1A2 =13&55&2 2&-5-5&13 = 13cdot2+5cdot(-5)&13cdot(-5)+5cdot13 5cdot2+2cdot(-5)&5cdot(-5)+2cdot13 =1&00&1
– Para B1B2:
B1B2 =-1&2&-32&1&04&-2&5 -5&4&-310&-7&68&-6&5 =I3
– Para C1C2:
C1C2 =3&-1&1-2&1&11&-1&-2 -1&-3&-2-3&-7&-51&2&1 =I3
Logo, cada par forma inversas uma da outra.

Passo 3

Cálculo de (5A1)^-1. Pela propriedade (cA)^-1=tfrac1cA^-1 e sabendo A1^-1=A2, temos
(5A1)^-1=15A1^-1 =152&-5-5&13 =2/5&-1-1&13/5

Passo 4

Cálculo de (B1C1)^-1. Usamos (AB)^-1=B^-1A^-1, com B1^-1=B2 e C1^-1=C2:
(B1C1)^-1 =C1^-1,B1^-1 =C2,B2 =-1&-3&-2-3&-7&-51&2&1 -5&4&-310&-7&68&-6&5 = -41&29&-25 -95&67&-58 23&-16&14

Passo 5

Cálculo de l(2,C1B2^Tr)^-1. Primeiro note que
l(2,C1B2^Tr)^-1 =12,(C1B2^T)^-1 =12,(B2^T)^-1,C1^-1 =12,(B2^-1)^T,C2 =12,B1^T,C2
Calculando
B1^TC2 =-1&2&42&1&-2-3&0&5 -1&-3&-2-3&-7&-51&2&1 =-1&-3&-4-7&-17&-118&19&11,
chegamos a
l(2,C1B2^Tr)^-1 =12-1&-3&-4-7&-17&-118&19&11 = -1/2&-3/2&-2 -7/2&-17/2&-11/2 4&19/2&11/2

Resposta

(5A1)^-1=2/5&-1-1&13/5
(B1C1)^-1=-41&29&-25-95&67&-5823&-16&14
l(2,C1B2^Tr)^-1=-1/2&-3/2&-2-7/2&-17/2&-11/24&19/2&11/2

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