Exercício 3.10.35. Calcular o determinante da matriz
(cccc k & -k & 0 & 1 1 & -2 & -1 & 0 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1 )
onde k in R.

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4 que depende de um parâmetro real k.
Conteúdo: determinante de matrizes, uso de operações elementares de linha (que alteram o determinante de forma controlada) e, no final, regra de Laplace para um 3times3.

Passo 2

Para facilitar a eliminação de Gauss, trocamos a linha 1 com a linha 2. Isso inverte o sinal do determinante. Após a troca, a matriz fica
1 & -2 & -1 & 0 k & -k & 0 & 1 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1 ,
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det(A) = -1 times det 1 & -2 & -1 & 0 k & -k & 0 & 1 0 & 1 & k & 1 k & 0 & 0 & -1

Passo 3

Agora zeramos as entradas abaixo de 1 na coluna 1 usando
L2 L2 - k,L1, L4 L4 - k,L1
O resultado é
1 & -2 & -1 & 0 0 & k & k & 1 0 & 1 & k & 1 0 & 2k & k & -1
Como a primeira coluna fica (1,0,0,0), temos
det(A) = -1 times 1 times detunderbrace k & k & 1 1 & k & 1 2k & k & -1 M

Passo 4

Calculamos por expansão na primeira linha:
Cada menor vale
Portanto

Passo 5

Como det(A)=-det(M), concluímos
det(A)= -l(-2k^2+2kr)=2k^2-2k=2k(k-1)

Resposta

det(A)=2k(k-1).

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