Determine uma base para o espaço das matrizes
M2 times 2(R)=[ll a & b c & d ] rvert, a, b, c, d in R

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma base de M2times2(R). Esse espaço vetorial tem dimensão 4 sobre R e consiste em todas as matrizes
a & b c & d ,
com a,b,c,dinR. Para encontrar uma base, vamos escolher quatro matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem qualquer matriz genérica por combinação linear.

Passo 2

Definimos as matrizes
E11 = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, E12 = 0 & 1 [6pt] 0 & 0, E21 = 0 & 0 [6pt] 1 & 0, E22 = 0 & 0 [6pt] 0 & 1
Seja uma matriz genérica
A = a & b [4pt] c & d
Observamos que
A = a,E11 ;+; b,E12 ;+; c,E21 ;+; d,E22,
logo E11,E12,E21,E22 gera todo o espaço M2times2(R).]

Passo 3

Para checar independência, suponha
lambda11E11 + lambda12E12 + lambda21E21 + lambda22E22 = 0
Comparando cada entrada com a matriz nula, vemos que
lambda11=0, lambda12=0, lambda21=0 e lambda22=0.
Portanto, as quatro matrizes são linearmente independentes.

Passo 4

Como produzem todo o espaço e são independentes, E11,E12,E21,E22 é de fato uma base de M2times2(R).

Resposta

A base encontrada é
E11,E12,E21,E22, onde
E11 = 1 & 0 [4pt] 0 & 0
E12 = 0 & 1 [4pt] 0 & 0
E21 = 0 & 0 [4pt] 1 & 0
E22 = 0 & 0 [4pt] 0 & 1 ]

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