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Mostre que
para cada
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a desigualdade
vale para todo
. O conteúdo aqui é manipulação de desigualdades envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar duas ideias: multiplicar por
(que é positivo) e racionalizar a diferença de raízes.
Passo 2
Como
, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por
sem mudar o sinal. Assim obtemos
Para simplificar o lado esquerdo, racionalizamos a diferença de raízes: escrevemos
Substituindo de volta, a desigualdade vira
Passo 3
Para
podemos dividir ambos os lados por
, chegando em
Multiplicando agora por
, fica
Como
e
, o lado direito é no mínimo 1, então essa última desigualdade é óbvia. Para
a desigualdade original dá
, também verdadeira. Portanto, tudo confere!
Resposta
A desigualdade é satisfeita para todo
.