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Mostre que
1-1raiz1+x^2 <= x^2
para cada x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a desigualdade
1 - 1raiz1 + x^2 <= x^2
vale para todo x >= 0. O conteúdo aqui é manipulação de desigualdades envolvendo raízes quadradas, e vamos precisar usar duas ideias: multiplicar por raiz1+x^2 (que é positivo) e racionalizar a diferença de raízes.

Passo 2

Como raiz1+x^2>0, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade original por raiz1+x^2 sem mudar o sinal. Assim obtemos
raiz1+x^2 - 1 <= x^2,raiz1+x^2
Para simplificar o lado esquerdo, racionalizamos a diferença de raízes: escrevemos
raiz1+x^2 - 1 = (raiz1+x^2-1)(raiz1+x^2+1)raiz1+x^2+1 = 1 + x^2 - 1raiz1+x^2+1 = x^2raiz1+x^2+1
Substituindo de volta, a desigualdade vira
x^2raiz1+x^2+1 <= x^2,raiz1+x^2

Passo 3

Para x>0 podemos dividir ambos os lados por x^2>0, chegando em
1raiz1+x^2+1 <= raiz1+x^2
Multiplicando agora por raiz1+x^2+1>0, fica
1 <= (1+x^2) + raiz1+x^2
Como x^2>=0 e raiz1+x^2>=1, o lado direito é no mínimo 1, então essa última desigualdade é óbvia. Para x=0 a desigualdade original dá 1-1<=0, também verdadeira. Portanto, tudo confere!

Resposta

A desigualdade é satisfeita para todo x>=0.

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