Calcule os limites:
(l) lim x -infty raiz2 x^2+34 x+2

Passo 1

Enunciado: calcular limxto -infty raiz2x^2+34x+2. O conteúdo envolve limites no infinito de funções que combinam raiz quadrada e expressão racional. Vamos usar conceitos de grau de crescimento e propriedades da raiz.

Passo 2

Para simplificar, fatoramos o maior termo de x. No numerador, dentro da raiz, extraímos x^2:
raiz2x^2+3 = |x|raiz2+3x^2
No denominador, fatoramos x:
4x+2 = x(4 + 2x)

Passo 3

Como xto -infty, temos |x| = -x. Substituindo isso, a expressão se torna
-xraiz2+3x^2x(4+2x)
Podemos cancelar x (não nulo no infinito), obtendo
-raiz2+3x^24+2x

Passo 4

Ao fazer xto -infty, os termos 3x^2 e 2x tendem a zero. Logo, o limite fica
-raiz2+04+0 = -raiz24

Resposta

-raiz24

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