Mostre que, para todo x>0, tem-se
(b) sen x>x-x^33.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo x>0 vale sin x > x - tfracx^33. O conteúdo principal envolve construir uma função cuja positividade dependa dessa desigualdade e usar derivadas e uma cota clássica da função cosseno para provar monotonicidade.

Passo 2

Definimos f(x)=sin x - x + tfracx^33. Vamos calcular a derivada:
f'(x)=ddxl(sin xr)-1+x^2=cos x -1 + x^2
Sabemos pela expansão em série de Taylor que para todo x vale
cos x >= 1 - x^22
Logo,
f'(x)=x^2+cos x -1 >= x^2 - x^22 = x^22 >0 (para x>0)

Passo 3

Como f'(x)>0 para x>0, a função f é estritamente crescente em [0,infty). Como
f(0)=sin0 - 0 + 0 = 0,
segue que para todo x>0
f(x)>f(0)=0
Isto é,
sin x - x + x^33 >0 implies sin x > x - x^33

Resposta

Para todo x>0 tem-se sen x > x - x³/3.

Exercícios relacionados