Mostre que, para todo
, tem-se
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para todo
vale
. O conteúdo principal envolve construir uma função cuja positividade dependa dessa desigualdade e usar derivadas e uma cota clássica da função cosseno para provar monotonicidade.
Passo 2
Definimos
. Vamos calcular a derivada:
Sabemos pela expansão em série de Taylor que para todo
vale
Logo,
Passo 3
Como
para
, a função
é estritamente crescente em
. Como
segue que para todo
Isto é,
Resposta
Para todo x>0 tem-se sen x > x - x³/3.