Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100 graus. Suponha que os eixos positivos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P0=(2,2).
Se a velocidade com que o objeto se move na direção do item b) é de 15 m / s, calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto P0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de uma chapa de metal varia em relação à distância da origem no plano $ xy $. A ideia principal aqui é que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto em relação à origem. Além disso, temos um ponto específico $ P_0 = (2, 2) $ onde um objeto está se movendo. A gente precisa descobrir como a temperatura nesse ponto está mudando ao longo do tempo, considerando que o objeto está se movendo a uma certa velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas relacionadas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura $ T $ depende da posição $ (x, y) $. A temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A distância de um ponto $ (x, y) $ à origem é dada por:
T
Como a temperatura é inversamente proporcional a essa distância, podemos escrever:
(x, y)
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que no ponto $ (3, 4) $, a temperatura é 100 graus. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ k $.
Calculando a distância de $ (3, 4) $ à origem:
(3, 4)
Substituindo na equação da temperatura:
k
Então, a função da temperatura fica:
(3, 4)

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto $ P_0 = (2, 2) $. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas:
P0 = (2, 2)
Aqui, $ \frac{\partial T}{\partial x} $ e $ \frac{\partial T}{\partial y} $ são as derivadas parciais da temperatura em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as velocidades nas direções $ x $ e $ y $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, derivada parcial em relação a $ x $:
x
Similarmente, derivada parcial em relação a $ y $:
partial Tpartial x = ddx ( 500raizx^2 + y^2 ) = -500 cdot x(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

No ponto $ P_0 = (2, 2) $, vamos substituir $ x = 2 $ e $ y = 2 $:
Calculando $ x^2 + y^2 $:
P0 = (2, 2)
Então:
x = 2
y = 2

Passo 7

Precisamos agora das velocidades $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $. O enunciado diz que a velocidade do objeto é $ \frac{1}{5} , m/s $ na direção do item b). Como não temos a direção especificada, vamos supor que o objeto está se movendo na direção leste (eixo $ x $), então:
dxdt

Passo 8

Agora, substituímos tudo na equação da taxa de variação da temperatura:
dTdt = ( -1252raiz2 ) cdot 15 + ( -1252raiz2 ) cdot 0 = -12510raiz2 = -252raiz2

Resposta

A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto $ P_0 = (2, 2) $ é de $ -\frac{25}{2\sqrt{2}} $ graus por segundo.

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