Uma chapa de metal aquecida está situada no plano
de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em
é de 100 graus. Suponha que os eixos positivos
e
apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto
.
Se a velocidade com que o objeto se move na direção do item b) é de
, calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto
.
Se a velocidade com que o objeto se move na direção do item b) é de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de uma chapa de metal varia em relação à distância da origem no plano $ xy $. A ideia principal aqui é que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto em relação à origem. Além disso, temos um ponto específico $ P_0 = (2, 2) $ onde um objeto está se movendo. A gente precisa descobrir como a temperatura nesse ponto está mudando ao longo do tempo, considerando que o objeto está se movendo a uma certa velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de taxas relacionadas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura $ T $ depende da posição $ (x, y) $. A temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A distância de um ponto $ (x, y) $ à origem é dada por:
Como a temperatura é inversamente proporcional a essa distância, podemos escrever:
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que no ponto $ (3, 4) $, a temperatura é 100 graus. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ k $.
Calculando a distância de $ (3, 4) $ à origem:
Substituindo na equação da temperatura:
Então, a função da temperatura fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto $ P_0 = (2, 2) $. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas:
Aqui, $ \frac{\partial T}{\partial x} $ e $ \frac{\partial T}{\partial y} $ são as derivadas parciais da temperatura em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as velocidades nas direções $ x $ e $ y $.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, derivada parcial em relação a $ x $:
Similarmente, derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 6
No ponto $ P_0 = (2, 2) $, vamos substituir $ x = 2 $ e $ y = 2 $:
Calculando $ x^2 + y^2 $:
Então:
Passo 7
Precisamos agora das velocidades $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $. O enunciado diz que a velocidade do objeto é $ \frac{1}{5} , m/s $ na direção do item b). Como não temos a direção especificada, vamos supor que o objeto está se movendo na direção leste (eixo $ x $), então:
Passo 8
Agora, substituímos tudo na equação da taxa de variação da temperatura:
Resposta
A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo no ponto $ P_0 = (2, 2) $ é de $ -\frac{25}{2\sqrt{2}} $ graus por segundo.