10- (Obrigatória) Prove que o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x, da função:
x^{2}+y^{2}=r^{2} \quad ; \quad-r \leq x \leq+r
É:
V=\frac{4}{3} \pi r^{3}

Passo 1

O enunciado pede para provar que o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a curva
x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad -r\le x\le r
é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é um círculo de raio r centrado na origem.
  • Para cada x no intervalo [-r,r] há duas ordens de y: a superior y=+\sqrt{r^{2}-x^{2}} e a inferior y=-\sqrt{r^{2}-x^{2}}.
  • O eixo de revolução é o eixo x.
  • Queremos o volume do sólido gerado por essa revolução.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática do método dos discos):
  • Vamos usar o método dos discos (ou fatias transversais). A ideia é cortar o sólido por planos perpendiculares ao eixo x em fatias de espessura infinitesimal dx. Cada fatia, para um x fixo, tem a forma aproximada de um cilindro muito fino (um disco) com área da base igual à área de um círculo de raio igual à distância entre o eixo x e a curva superior y(x).
  • Volume de uma fatia elemental: se o raio da fatia em x é R(x), então a área da seção transversal é \pi [R(x)]^{2} e o volume elemental é
dV = \pi [R(x)]^{2}\,dx.
  • No nosso caso, ao girar a semicircunferência superior y=+\sqrt{r^{2}-x^{2}} em torno do eixo x obtemos o sólido inteiro (a semicircunferência gera toda a esfera), então podemos tomar o raio do disco como
R(x)=y(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • x é a coordenada ao longo do eixo de revolução, variando de -r a r.
  • R(x) é o raio do disco na posição x.
  • dx é a espessura infinitesimal da fatia.

Passo 3

Montagem da integral para o volume:
  • Substituindo R(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}} em dV=\pi R(x)^{2}dx obtemos
dV=\pi\big(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\big)^{2}dx=\pi\big(r^{2}-x^{2}\big)\,dx.
  • Integrando sobre todo o intervalo x\in[-r,r] obtemos o volume total:
V=\int_{-r}^{r}\pi\big(r^{2}-x^{2}\big)\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral passo a passo:
  • Primeiro fatoramos a constante \pi:
V=\pi\int_{-r}^{r}\big(r^{2}-x^{2}\big)\,dx.
  • Calculamos a primitiva de r^{2}-x^{2}:
\int\big(r^{2}-x^{2}\big)\,dx = r^{2}x - \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (não necessária em integral definida).
  • Avaliando a primitiva entre os limites -r e r:
\left[r^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-r}^{r} = \Big(r^{2}\cdot r - \frac{r^{3}}{3}\Big) - \Big(r^{2}\cdot(-r) - \frac{(-r)^{3}}{3}\Big).
  • Calcule cada termo:
r^{2}\cdot r - \frac{r^{3}}{3} = r^{3} - \frac{r^{3}}{3} = \frac{2}{3}r^{3},
r^{2}\cdot(-r) - \frac{(-r)^{3}}{3} = -r^{3} + \frac{r^{3}}{3} = -\frac{2}{3}r^{3}.
  • Subtraindo:
\frac{2}{3}r^{3} - \big(-\tfrac{2}{3}r^{3}\big) = \frac{4}{3}r^{3}.
  • Finalmente, multiplicando por \pi:
V=\pi\cdot\frac{4}{3}r^{3}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 5

Comentário final e ligação com o resultado esperado:
  • O resultado obtido \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3} coincide com a fórmula clássica do volume de uma esfera de raio r. A técnica dos discos mostrou explicitamente como o giro da semicircunferência gera esse volume.

Resposta

\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}

Exercícios relacionados