10- (Obrigatória) Prove que o volume do sólido de revolução, em torno do eixo
, da função:
É:
Passo 1
O enunciado pede para provar que o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a curva
é
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é um círculo de raio
centrado na origem. - Para cada
no intervalo há duas ordens de : a superior e a inferior . - O eixo de revolução é o eixo
. - Queremos o volume do sólido gerado por essa revolução.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática do método dos discos):
- Vamos usar o método dos discos (ou fatias transversais). A ideia é cortar o sólido por planos perpendiculares ao eixo
em fatias de espessura infinitesimal . Cada fatia, para um fixo, tem a forma aproximada de um cilindro muito fino (um disco) com área da base igual à área de um círculo de raio igual à distância entre o eixo e a curva superior . - Volume de uma fatia elemental: se o raio da fatia em
é , então a área da seção transversal é e o volume elemental é
- No nosso caso, ao girar a semicircunferência superior
em torno do eixo obtemos o sólido inteiro (a semicircunferência gera toda a esfera), então podemos tomar o raio do disco como
Explicando as variáveis:
-
é a coordenada ao longo do eixo de revolução, variando de a . -
é o raio do disco na posição . -
é a espessura infinitesimal da fatia.
Passo 3
Montagem da integral para o volume:
- Substituindo
em obtemos
- Integrando sobre todo o intervalo
obtemos o volume total:
Passo 4
Cálculo da integral passo a passo:
- Primeiro fatoramos a constante
:
- Calculamos a primitiva de
:
onde
é a constante de integração (não necessária em integral definida).
- Avaliando a primitiva entre os limites
e :
- Calcule cada termo:
- Subtraindo:
- Finalmente, multiplicando por
:
Passo 5
Comentário final e ligação com o resultado esperado:
- O resultado obtido
coincide com a fórmula clássica do volume de uma esfera de raio . A técnica dos discos mostrou explicitamente como o giro da semicircunferência gera esse volume.