Calcule o comprimento da curva
y=\frac{1}{2} x \sqrt{x^{2}-1}-\frac{1}{2} \ln \left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|
no intervalo [1 ; 2]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada por
y=\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}-1}-\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|
no intervalo [1;2].
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: }y(x)=\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}-1}-\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|çã
\text{intervalo: }x\in[1,2]

Passo 2

Fórmula que usamos (interpretação geométrica rápida): o comprimento de arco de uma curva y=y(x) no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Breve justificativa intuitiva: um pequeno arco tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}. Ao passar ao limite \Delta x\to0 obtemos a integral acima. Então, para achar L precisamos calcular y'(x) e integrar \sqrt{1+(y')^{2}} de 1 a 2.

Passo 3

Calcular y'(x). Escrevo \sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2}. A função tem duas parcelas; derivo parcela a parcela.
Primeira parcela:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}-1}\right) =\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\bigl(x(x^{2}-1)^{1/2}\bigr).
Uso a regra do produto: se u=x e v=(x^{2}-1)^{1/2}, então
\frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'.
Aqui u'=1 e
v'=\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x\sqrt{x^{2}-1}\bigr)=\sqrt{x^{2}-1}+x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{(x^{2}-1)+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} inicial,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{x^{2}-1}\right)=\frac{2x^{2}-1}{2\sqrt{x^{2}-1}}.
Segunda parcela:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|\right) =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right),
onde usei a regra da cadeia e que \frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-1}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Agora simplifico essa expressão: dentro do parêntese temos
1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Multiplicando por \frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}} obtém-se
\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Logo
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right|\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}.
Somando as duas parcelas:
y'(x)=\frac{2x^{2}-1}{2\sqrt{x^{2}-1}}-\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{2x^{2}-2}{2\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Como \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{x^{2}-1} (para x tal que a raiz é não negativa), concluímos
y'(x)=\sqrt{x^{2}-1}.
Comentário amigo: deu uma boa simplificação — parece complicado no começo, mas muitas vezes esses logaritmos aparecem para cancelar termos e deixar uma derivada simples.

Passo 4

Agora substituímos em \sqrt{1+(y')^{2}}:
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}}=\sqrt{1+(x^{2}-1)}=\sqrt{x^{2}}.
Observação sobre sinal: \sqrt{x^{2}}=|x|. No intervalo dado x\in[1,2] temos x\ge 1>0, logo |x|=x. Assim o integrando simplifica para x.

Passo 5

O comprimento é então
L=\int_{1}^{2}x\;dx.
Calculo a primitiva: uma antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Portanto
L=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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