Fórmula que usamos (interpretação geométrica rápida): o comprimento de arco de uma curva y=y(x) no intervalo [a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Breve justificativa intuitiva: um pequeno arco tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}. Ao passar ao limite \Delta x\to0 obtemos a integral acima. Então, para achar L precisamos calcular y'(x) e integrar \sqrt{1+(y')^{2}} de 1 a 2.
Passo 3
Calcular y'(x). Escrevo \sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2}. A função tem duas parcelas; derivo parcela a parcela.
Como \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\sqrt{x^{2}-1} (para x tal que a raiz é não negativa), concluímos
y'(x)=\sqrt{x^{2}-1}.
Comentário amigo: deu uma boa simplificação — parece complicado no começo, mas muitas vezes esses logaritmos aparecem para cancelar termos e deixar uma derivada simples.