11- (Opcional) Prove que a área do sólido de revolução, em torno do eixo x, da função:
x^{2}+y^{2}=r^{2} \quad ; \quad-r \leq x \leq+r
É:
A=4 \pi r^{2}

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^{2}+y^{2}=r^{2}
no intervalo -r \leq x \leq r e pede a área do sólido obtido ao girar essa curva em torno do eixo x. Informações relevantes: a curva é a circunferência de raio r; o eixo de rotação é o eixo x; o intervalo de x é [-r,r]. A pergunta é: calcular a área da superfície gerada por essa rotação.

Passo 2

Escolhemos a semicírculo superior como representação da curva a ser girada, porque ao girar a semicírculo superior em torno do eixo x obtém-se exatamente a superfície da esfera de raio r. Escrevemos a semicírculo superior como função y(x):
y(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}},\qquad -r\le x\le r,
onde explicitamente temos y\ge 0. Rotacionando esta curva em torno do eixo x obtemos a superfície desejada (a esfera).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da área de superfície gerada pela rotação de uma curva y=f(x) em torno do eixo x. A dedução rápida é: um pequeno segmento de arco tem comprimento \mathrm{d}s\approx\sqrt{1+(y')^{2}}\,\mathrm{d}x e, ao girar esse segmento em torno do eixo x, descreve uma faixa de área aproximada \mathrm{d}A \approx 2\pi y\,\mathrm{d}s. Integrando, a fórmula exata é
A = 2\pi\int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x,
onde y(x) é a distância radial ao eixo x (a função que gira), y'(x)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} é a derivada, e [a,b] é o intervalo em x.

Passo 4

Calculemos y'(x) para y(x)=\sqrt{r^{2}-x^{2}}=(r^{2}-x^{2})^{1/2}. Usando a regra da cadeia:
y'(x)=\frac{1}{2}(r^{2}-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}.

Passo 5

Agora calculemos 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}. Substituindo:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}.
Então
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}=\frac{r^{2}-x^{2}+x^{2}}{r^{2}-x^{2}}=\frac{r^{2}}{r^{2}-x^{2}}.
Como r>0 e o denominador é positivo em (-r,r), a raiz quadrada positiva é
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}.

Passo 6

Substituímos y(x) e \sqrt{1+(y')^{2}} na fórmula da área:
A = 2\pi\int_{-r}^{r} \underbrace{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}_{y(x)}\cdot\underbrace{\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}}_{\sqrt{1+(y')^{2}}}\;\mathrm{d}x.
Observe que \sqrt{r^{2}-x^{2}} cancela com \frac{1}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}, então o integrando simplifica para a constante r:
A = 2\pi\int_{-r}^{r} r\;\mathrm{d}x = 2\pi r \int_{-r}^{r} \mathrm{d}x.

Passo 7

Calcule a integral final: \displaystyle \int_{-r}^{r}\mathrm{d}x = 2r. Portanto
A = 2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^{2}.
Isso coincide com a área conhecida da superfície da esfera de raio r. Boa — a conta ficou simples porque a geometria levou à anulação do termo com raiz.

Resposta

A=4\pi r^{2}

Exercícios relacionados