10- Oscilador harmônico isotrópico:
. Resolva este problema de duas formas:
(a) Considerando as coordenadas cartesianas: separe a equação de Schroedinger e mostre que o sistema se comporta como 3 equações unidimensionais, de forma que
. Use o resultado do problema 9 para escrever os estados do sistema e as energias correspondentes, e mostre que o espectro de energia é degenerado. Calcule a ordem da degenerescência para os 5 primeiros estados de energia, estado fundamental e os 4 primeiros estados excitados.
(b) Considerando a equação de Schroedinger em coordenadas esféricas e use o resultado do problema 2 para separar as componentes em
e
. Calcule os estados de energia e mostre que o espectro de energia é degenerado. Calcule a ordem da degenerescência para os 5 primeiros estados, estado fundamental e os 4 primeiros estados excitados, e faça a correspondência destes estados com os do item anterior, ou seja, quais são as combinações de números quânticos que caracterizam estes estados nas duas formas de solução do problema do oscilador isotrópico.
(a) Considerando as coordenadas cartesianas: separe a equação de Schroedinger e mostre que o sistema se comporta como 3 equações unidimensionais, de forma que
(b) Considerando a equação de Schroedinger em coordenadas esféricas e use o resultado do problema 2 para separar as componentes em
Passo 1
O enunciado pede duas formas de resolver o oscilador harmônico tridimensional isotrópico com potencial
(vou usar a forma usual positiva do potencial). As tarefas são:
-
(a) Resolver separando em coordenadas cartesianas: mostrar que
, usar o resultado do problema 9 (o oscilador unidimensional) para escrever os estados e energias e mostrar que o espectro é degenerado. Calcular a ordem (degenerescência) para os 5 primeiros níveis de energia: estado fundamental e os 4 primeiros excitados. -
(b) Resolver em coordenadas esféricas separando em
(usar resultado do problema 2 sobre separação angular), obter as energias, mostrar degenerescência, calcular a ordem da degenerescência para os 5 primeiros níveis e fazer a correspondência entre os números quânticos das duas soluções.
Informações relevantes que temos e que vou usar (peguei do enunciado):
- Potencial:
, com . - Equação de Schrödinger independente do tempo:
. - Resultado do problema 9 (oscilador 1D): energias
, , e funções próprias (Hermite polinômios vezes gaussiana). - Resultado do problema 2 (separação angular): funções angulares são esféricas harmônicas
com autovalor de e multiplicidade (valores de de a ).
A partir daqui começo as separações e deduções.
Passo 2
Separação em coordenadas cartesianas — mostrar que o problema se reduz a três HOs 1D.
Escrevo a equação de Schrödinger estacionária para potencial harmônico isotrópico:
Tentar separação por produto:
Calculo o Laplaciano agindo no produto:
Substituo na equação e divido por
:
Agora reorganizo separando termos que dependem apenas de
, apenas de
e apenas de
. Coloco constantes de separação
tais que
com com a condição
Cada equação é precisamente a equação de Schrödinger do oscilador harmônico unidimensional com frequência
. Pelo resultado do problema 9 (1D HO), as soluções são
com
. Assim a energia total é a soma:
As funções próprias correspondentes são o produto dos autovetores 1D:
onde
é a função própria 1D (Hermite
gaussiana).
Passo 3
E degenerescência na abordagem cartesiana — fórmula combinatória e valores nos cinco primeiros níveis.
Defino o número quântico total inteiro
então
Para um dado
a degenerescência
é o número de soluções em inteiros não-negativos
de
A contagem de soluções não-negativas para
variáveis é um problema de combinatória: o número de soluções é
Agora calculo os primeiros cinco níveis (
):
-
(estado fundamental): . Degenerescência
-
(1º excitado): . Degenerescência
As combinações
são
.
-
(2º excitado): . Degenerescência
As combinações são
.
-
(3º excitado): . Degenerescência
-
(4º excitado): . Degenerescência
Comentário didático curto: a degenerescência aparece porque permutar energia entre
dá o mesmo
. As funções próprias formam subespaços degenerados de dimensão
. Pode-se escolher base desse subespaço tanto pela base cartesiana dos produtos
quanto por uma base onde
e
são diagonais (simbólica: harmônicos esféricos), como vou explicar na parte (b).
Passo 4
Breve lembrete sobre as funções 1D (útil para provas): cada
tem forma
onde
é o polinômio de Hermite e
é constante de normalização. No 3D a função é produto desses fatores em
. Isso é prático na prova porque permite escrever explicitamente os estados cartesianos (por exemplo
, etc.).
Passo 5
Separação em coordenadas esféricas — estrutura angular e radial, energias e degenerescência.
Escrevo a equação em coordenadas esféricas. O Laplaciano em coordenadas esféricas é
onde
é a parte angular (operador momento angular ao quadrado, com sinal positivo quando escrito assim no operador). A equação fica
Procuro separação do tipo
onde
são as harmônicas esféricas (resultado do problema 2). A equação angular dá
com
e
. Substituindo e dividindo por
obtém-se a equação radial
É usual transformar
em
para obter uma equivalente 1D em semi-eixo
:
Esta é uma equação do tipo “oscilador harmônico com potencial efetivo” que tem soluções quadradrapolares em
expressas via polinômios generalizados de Laguerre (essa solução técnica vem do estudo padrão do oscilador em coordenadas esféricas). O resultado conhecido (e que vem do problema 2/estudos padrão) dá os níveis de energia
com
(número quântico radial) e
(momento angular). Note que
é exatamente o mesmo inteiro
que usamos antes na separação cartesiana. Portanto os níveis dependem apenas de
, não separadamente de
e
; por isso o degenerescência observada antes reaparece aqui.
Passo 6
Degenerescência na forma esférica e demonstração da igualdade com a forma cartesiana.
Para um dado
temos todas as combinações de
e
tal que
. Para cada
fixo o número de estados angulares é
(valores de
). Portanto a degenerescência para
é
onde a restrição
vem de
(logo
tem a mesma paridade que
). Essa soma (somando apenas
com a mesma paridade) reduz-se ao mesmo valor combinatório obtido anteriormente:
(É uma soma telescópica padrão; pode verificar expandindo a soma de
.) Assim as duas formas dão exatamente o mesmo espectro e a mesma degenerescência.
Agora eu listo explicitamente as correspondências dos estados entre bases cartesiana e esférica para os cinco níveis
. Isto é útil para a prova: mostra como as combinações de
agrupam-se segundo
.
Nível
:
- Energia
. - Cartesianos: única combinação
. - Esféricos:
. Só existe . - Mapeamento:
.
Nível
:
- Energia
. - Cartesianos:
— três estados. - Esféricos:
. Para há valores de : . - Mapeamento qualitativo: as funções
, ,
são combinações lineares das três funções(por exemplo é proporcional a , enquanto e são combinações lineares de ). Em prova: diga que formam a base cartesiana dos “p-orbitais” e vinculam-se ao subespaço .
Nível
:
- Energia
. - Cartesianos (6 estados):
. - Esféricos:
possibilidades: -
com multiplicidade (estado radial excitado s, “2s” do oscilador), -
com multiplicidade (os cinco estados d).
Total.
-
- Mapeamento exemplar: o estado esférico
é proporcional à combinação simétrica multiplicada pela gaussiana apropriada; os cinco estados correspondem às combinações quadráticas traceless como (cada uma vezes a gaussiana) — essas cinco formam a base .
Nível
:
- Energia
. - Degenerescência
. - Esféricos:
(multiplicidade 3) e (multiplicidade 7), total . - Cartesianos: todas as combinações com soma 3 (10 tipos).
Nível
:
- Energia
. - Degenerescência
. - Esféricos:
(1), (5), (9) → total . - Cartesianos: todas as combinações com soma 4 (15 tipos).
Observação didática: nas provas, em vez de diagonalizar explicitamente no subespaço degenerado, costuma-se usar simetrias (modelo rotacional) para escolher a base angular
. A passagem de funções do tipo polinômio em
para combinações com harmônicas esféricas é uma transformação linear dentro do subespaço degenerado.
Passo 7
Resumo pedagógico/estratégico para a prova (dicas práticas):
- Ao ver
reconheça imediatamente que e que é possível separar em cartesianas em três HOs 1D; escreva . - Para contar degenerescência use combinatória (soluções inteiras não-negativas) ou, alternativamente, reconheça que
e some . - Para mapear estados cartesiano ↔ esférico, identifique polinômios homogêneos de grau
(em ) e decompose em parte radial harmônica esférica: a parte proporcional a corresponde ao desejado. Exemplos práticos úteis: , combinações de ; é o estado s radial excitado; são d-estados.
Resposta
(a) Em coordenadas cartesianas:
A degenerescência para
é
Para os 5 primeiros níveis:
(b) Em coordenadas esféricas:
com
. A degenerescência para cada
é igual a
(mesmo resultado que em (a)). Para os 5 primeiros níveis os valores de energia e degenerescência coincidem com (a) (lista acima). Correspondência dos estados (exemplos principais):
(Estas correspondências significam que cada subespaço degenerado cartesiano de dimensão
pode ser reescrito como soma direta dos subespaços
com
, cada um com multiplicidade angular
.)]