8- Estados ligados no Poço de Potencial finito: V(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x<-\frac{a}{2} \text { e } x>\frac{a}{2} \\\\ -V_{0},-\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}\end{array}\right., com -V_{0} \leq E<0.
Determine a condição para V_{0} e a para que o sistema tenha um único estado ligado.
Passo 1
O enunciado dá um poço de potencial simétrico e finito centrado em x=0\):
\[V(x)=\begin{cases} 0, & x<-\dfrac{a}{2}\\ \text{e}\\ x>\dfrac{a}{2},\\[6pt] -V_0, & -\dfrac{a}{2}\le x\le\dfrac{a}{2}, \end{cases}
com V_0>0\] e energias de estados ligados satisfazendo \(-V_0\le E<0.
A pergunta é: determinar a condição entre V_0 e a para que o sistema tenha exatamente um único estado ligado.
Informações relevantes do enunciado:
largura do poço: a;
profundidade do poço: V_0 (positivo, mas o potencial dentro é -V_0);
buscamos a condição (desigualdade envolvendo V_0 e a) para que exista apenas um estado ligado (o estado fundamental), sem outros estados ligados excitados.]
Passo 2
Vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo nas três regiões e definir as quantidades importantes.
A equação de Schrödinger unidimensional estacionária é
Definimos as constantes de onda nas regiões interna e externa ao poço:
dentro do poço (-\tfrac{a}{2}\le x\le\tfrac{a}{2}): a energia relativa ao fundo do poço é E+V_0 (positivo porque E>-V_0). Definimos
k\equiv \dfrac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar},
logo a solução dentro é oscilatória.
fora do poço (|x|>\tfrac{a}{2}): a energia relativa é E-0=E<0, portanto a solução é exponencial decrescente. Definimos
\kappa\equiv \dfrac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},
que é real e positivo para estados ligados.
Explicação física curta: k determina a oscilação interna (quanto maior E+V_0, mais oscilam as ondas dentro) e \kappa determina a taxa de decaimento fora (quanto mais negativo E, maior \kappa, mais rápido decai a cauda da função de onda).
Passo 3
Devido à simetria V(-x)=V(x), as soluções podem ser separadas em par (even) e ímpar (odd). Escrevemos formas gerais que satisfazem comportamento físico (normalizáveis):
Solução par (even): dentro do poço escolhemos \psi_{\text{in}}(x)=A\cos(kx). Fora, para x>\tfrac{a}{2}, a solução decai como \psi_{\text{out}}(x)=B e^{-\kappa x}. Pela simetria, para x<-\tfrac{a}{2} a solução é B e^{\kappa x}.
Aplicando continuidade de \psi e \psi' em x=\tfrac{a}{2}:
A\cos\!\big(k\tfrac{a}{2}\big)=B e^{-\kappa \tfrac{a}{2}}, \qquad -A k\sin\!\big(k\tfrac{a}{2}\big) = -B\kappa e^{-\kappa \tfrac{a}{2}}.
Dividindo a segunda pela primeira (para eliminar A,B,e^{-\kappa a/2}) obtemos a relação transcendental para estados pares:
k\tan\!\big(k\tfrac{a}{2}\big)=\kappa.
Solução ímpar (odd): dentro \psi_{\text{in}}(x)=C\sin(kx). Fora, para x>\tfrac{a}{2}, \psi_{\text{out}}(x)=D e^{-\kappa x} com sinal apropriado à simetria ímpar para x<-\tfrac{a}{2}.
Continuando em x=\tfrac{a}{2}:
C\sin\!\big(k\tfrac{a}{2}\big)=D e^{-\kappa \tfrac{a}{2}}, \qquad C k\cos\!\big(k\tfrac{a}{2}\big)= -D\kappa e^{-\kappa \tfrac{a}{2}}.
Dividindo obtemos a equação transcendental para estados ímpares:
-\,k\cot\!\big(k\tfrac{a}{2}\big)=\kappa.
Essas duas equações determinam implicitamente os valores permitidos de k (e portanto de E), dados V_0 e a.
Passo 4
É conveniente introduzir variáveis adimensionais para analisar quantas soluções existem. Definimos
Observação: usando k^{2}+\kappa^{2}=\tfrac{2mV_{0}}{\hbar^{2}} (pois \kappa^{2}= -\tfrac{2mE}{\hbar^{2}} e k^{2}=\tfrac{2m(E+V_{0})}{\hbar^{2}}), obtemos
\kappa\tfrac{a}{2}=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}.
As equações transcendentes ficam, em termos de z e z_0:
estados pares:
z\tan z=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}.
estados ímpares:
-\,z\cot z=\sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}.
Interpretando: soluções possíveis ocorrem apenas para 0<z<z_{0}. Cada solução z dentro de um dos intervalos de definição de \tan ou \cot corresponde a um estado ligado.
Passo 5
Agora analisamos quantas soluções existem dependendo de z_0.
Primeiro, existe sempre pelo menos um estado ligado (o estado fundamental, par). Prova rápida: para a equação par, considere a função f(z)=z\tan z e g(z)=\sqrt{z_0^{2}-z^{2}} no intervalo 0\le z<\tfrac{\pi}{2}. Tem-se
Como f é contínua em [0,\tfrac{\pi}{2}), existe ao menos um ponto de interseção por Bolzano — logo sempre há uma solução par no primeiro intervalo. Portanto para qualquer V_0>0 existe o estado fundamental ligado.
Para que haja um segundo estado ligado (o primeiro estado ímpar), é necessário que exista solução da equação ímpar. A primeira solução ímpar teria z no intervalo (\tfrac{\pi}{2},\pi), porque \cot z muda de sinal em \tfrac{\pi}{2} e a função -z\cot z é positiva nessa primeira região. Porém os possíveis valores de z estão limitados por z\le z_{0}. Portanto, um pré-requisito para que exista a primeira solução ímpar é simplesmente que
z_{0}>\tfrac{\pi}{2}.
Se z_{0}=\tfrac{\pi}{2} o ponto z=\tfrac{\pi}{2} corresponderia a \kappa=0 (pois \sqrt{z_{0}^{2}-z^{2}}=0), ou seja, energia de limite E=0 — não é um estado ligado estrito. Logo o surgimento de um estado ímpar ligado exige a condição estrita z_{0}>\tfrac{\pi}{2}.
Conclusão lógica: para ter exatamente um único estado ligado (apenas o par fundamental) é necessário e suficiente que
z_{0}<\tfrac{\pi}{2}.
Passo 6
Voltando às grandezas físicas V_0 e a, reescrevemos z_{0}<\tfrac{\pi}{2}:
Comentário final: se V_{0}=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m a^{2}} surge, em limite, um segundo “estado” com energia E=0 (não normalizável como ligado estrito). Para V_{0} maior que esse valor aparece um segundo estado ligado (o primeiro ímpar).