9- Oscilador harmônico unidimensional (resolva a equação de Shcrödinger explicitamente determinando os estados de energia es as funções de onda. Não usar álgebra de operadores neste exercício!):
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
- Pedem para resolver explicitamente a equação de Schrödinger unidimensional (dependente do tempo) na forma estacionária (autovalores de energia e funções de onda) para o potencial
.\n - Não usar álgebra de operadores (ou seja: resolver a equação diferencial ordinária explicitamente).\n
- Informações relevantes fornecidas: a constante
(constante elástica formal), massa do sistema e a constante de Planck reduzida aparecem na equação de Schrödinger. Nada mais foi dado, então trataremos como parâmetro a determinar (ou caracterizar).\n
As perguntas que vamos responder, passo a passo:\n
- Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial.\n
- Reduzir a equação a uma forma padrão (equação de Weber / de parabolas invertidas) e obter a solução geral.\n
- Identificar o espectro de energias (se discreto, contínuo, etc.) e comentar sobre normalização das funções de onda.
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger estacionária e rearranjar.\n
A equação de Schrödinger independente do tempo é
A equação de Schrödinger independente do tempo é
Substituindo
obtemos
Multiplicando por
para deixar a equação numa forma padrão:
É útil introduzir a frequência associada
. Reescrevendo o coeficiente:
Portanto a equação fica
Passo 3
Escalonamento para variável adimensional e simplificação.\n
Defina a variável adimensional
Defina a variável adimensional
Então
e
Substituindo na equação obtemos (dividindo por
)
onde definimos o parâmetro adimensional de energia
Esta é a forma mais simples da equação:
. Observe que o sinal positivo diante de
reflete que o potencial é quadrático invertido (capô voltado para baixo).
Passo 4
Mapeamento para a equação de Weber (forma padrão) e identificação do parâmetro.\n
A equação cuja solução é escrita em termos das funções de parabolas (funções de Weber / parabolic cylinder functions) tem a forma padrão
A equação cuja solução é escrita em termos das funções de parabolas (funções de Weber / parabolic cylinder functions) tem a forma padrão
Para levar
a essa forma, fazemos uma rotação complexa e reescalamento das variáveis. Defina
Calcule as derivadas:
e
. Também
. Substituindo na equação em
obtemos, após simplificar,
Comparando com a forma padrão vemos que
Usando
segue
Assim a equação está na forma de Weber com índice complexo
dado acima.
Passo 5
Solução geral em termos das funções de parabolas (parabolic cylinder functions).\n
A solução geral da equação de Weber é uma combinação linear das funções de parabolas (parabolic cylinder functions). Voltando às variáveis originais, a solução geral para um autovalor de energia
é
A solução geral da equação de Weber é uma combinação linear das funções de parabolas
onde
Aqui
e
são constantes complexas determinadas por condições de contorno (por exemplo escolha de combinação de ondas com comportamento físico desejado). As funções
são bem estudadas: para
complexo elas continuam a definir soluções linearmente independentes e têm expansão em termos de confluent hypergeometric functions; não é necessário memorizar fórmulas longas — o importante é que existem expressões fechadas e tabuladas.
Passo 6
Interpretação física: espectro de energia e normalização.\n
- A equação permite qualquer valor real de
. Não existe um conjunto discreto de autovalores {`a la} oscilador harmônico normal; em vez disso o espectro é contínuo: . Isso decorre fisicamente do fato de é não limitado inferiormente (vai a quando ), portanto não há estados ligados estacionários com energia quantizada.\n - As soluções
obtidas são funções de onda típicas de estados de espalhamento/estaçãores contínuos: para elas oscilam rapidamente (fase quadrática dominando), não decaem exponencialmente, e portanto não são quadrado-integráveis no sentido usual (não pertencem a ). Uma maneira fácil de ver isso qualitativamente é o argumento WKB: o momento clássico para grande é , logo a fase acumulada é , isto é, a fase cresce como e gera termos oscilatórios do tipo . Oscilações puras (sem decaimento) implicam falta de normalização em .\n - Apesar disso, uma base útil de estados pode ser construída com autoestados com normalização de Dirac (delta-normalização) ou formando pacotes de ondas (superposição contínua em
) que são normáveis e descrevem evolução física. A física do oscilador invertido está relacionada a espalhamento e a instabilidade (pacotes que se espalham exponencialmente em tempo real no problema dependente do tempo).
Passo 7
Resumo prático e como usar essas soluções na prova (dicas).\n
- Passos para reproduzir numa prova: 1) escrever a equação; 2) escalar
para variável adimensional ; 3) fazer rotação/reescalamento para reconhecer a equação de Weber; 4) escrever a solução em termos de e identificar . Esses quatro passos são suficientes para “resolver explicitamente” o problema pedido sem álgebra de operadores.\n - No enunciado peça-se a “determinação dos estados de energia e das funções de onda”: a resposta esperada é que o espectro é contínuo (
) e as funções de onda estacionárias são dadas pelas combinações lineares das funções de parabolas mostradas no Passo 5, com .\n - Não tente normalizar as
em — elas não são normalizáveis; em vez disso, se necessário, diga que se trabalha com normalização de Dirac ou com pacotes de ondas.
Resposta
Espectro:
(contínuo, não há níveis discretos ligados).\n
Funções de onda estacionárias (solução geral para cada ):
Funções de onda estacionárias (solução geral para cada
com
e
constantes (combinações apropriadas dão estados com comportamento físico desejado).