9- Oscilador harmônico unidimensional (resolva a equação de Shcrödinger explicitamente determinando os estados de energia es as funções de onda. Não usar álgebra de operadores neste exercício!): V(x)= -\frac{1}{2} k x^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
  • Pedem para resolver explicitamente a equação de Schrödinger unidimensional (dependente do tempo) na forma estacionária (autovalores de energia e funções de onda) para o potencial \;V(x) = -\dfrac{1}{2} k x^2\;.\n
  • Não usar álgebra de operadores (ou seja: resolver a equação diferencial ordinária explicitamente).\n
  • Informações relevantes fornecidas: a constante k>0 (constante elástica formal), massa do sistema m e a constante de Planck reduzida \hbar aparecem na equação de Schrödinger. Nada mais foi dado, então trataremos E como parâmetro a determinar (ou caracterizar).\n
    As perguntas que vamos responder, passo a passo:\n
  1. Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para esse potencial.\n
  2. Reduzir a equação a uma forma padrão (equação de Weber / de parabolas invertidas) e obter a solução geral.\n
  3. Identificar o espectro de energias (se discreto, contínuo, etc.) e comentar sobre normalização das funções de onda.

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger estacionária e rearranjar.\n
A equação de Schrödinger independente do tempo é
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x).
Substituindo V(x)= -\dfrac{1}{2} k x^2 obtemos
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x) - \frac{1}{2}k x^2 \psi(x) = E\psi(x).
Multiplicando por -\dfrac{2m}{\hbar^2} para deixar a equação numa forma padrão:
\psi''(x) + \frac{m k}{\hbar^2} x^2 \psi(x) + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0.
É útil introduzir a frequência associada \omega := \sqrt{\dfrac{k}{m}}. Reescrevendo o coeficiente:
\frac{m k}{\hbar^2} = \left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^2.
Portanto a equação fica
\psi''(x) + \left(\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^2 x^2 + \frac{2mE}{\hbar^2}\right)\psi(x)=0.

Passo 3

Escalonamento para variável adimensional e simplificação.\n
Defina a variável adimensional
\xi := \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\; x.
Então \dfrac{d}{dx} = \sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}\dfrac{d}{d\xi} e
\frac{d^2}{dx^2} = \frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}.
Substituindo na equação obtemos (dividindo por m\omega/\hbar)
\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + \bigl(\xi^2 + \lambda\bigr)\psi(\xi)=0,
onde definimos o parâmetro adimensional de energia
\lambda := \frac{2E}{\hbar\omega}.
Esta é a forma mais simples da equação: \psi''(\xi)+(\xi^2+\lambda)\psi(\xi)=0. Observe que o sinal positivo diante de \xi^2 reflete que o potencial é quadrático invertido (capô voltado para baixo).

Passo 4

Mapeamento para a equação de Weber (forma padrão) e identificação do parâmetro.\n
A equação cuja solução é escrita em termos das funções de parabolas (funções de Weber / parabolic cylinder functions) tem a forma padrão
\frac{d^2 y}{dz^2} +\!\left(\nu+\tfrac{1}{2}-\frac{z^2}{4}\right)\!y(z)=0.
Para levar \psi''(\xi)+(\xi^2+\lambda)\psi=0 a essa forma, fazemos uma rotação complexa e reescalamento das variáveis. Defina
z := e^{i\pi/4}\sqrt{2}\,\xi.
Calcule as derivadas: dz/d\xi = e^{i\pi/4}\sqrt{2} e d^2/d\xi^2 = (dz/d\xi)^2 d^2/dz^2 = 2i\, d^2/dz^2. Também \xi^2 = z^2/(2i). Substituindo na equação em \xi obtemos, após simplificar,
\frac{d^2\psi}{dz^2} +\!\left(-\frac{z^2}{4} + \frac{\lambda}{2i}\right)\!\psi(z)=0.
Comparando com a forma padrão vemos que
\nu + \tfrac{1}{2} = \frac{\lambda}{2i}.
Usando \lambda = \dfrac{2E}{\hbar\omega} segue
\nu = -\tfrac{1}{2} - i\,\frac{E}{\hbar\omega}.
Assim a equação está na forma de Weber com índice complexo \nu dado acima.

Passo 5

Solução geral em termos das funções de parabolas (parabolic cylinder functions).\n
A solução geral da equação de Weber é uma combinação linear das funções de parabolas D_{\nu}(z) (parabolic cylinder functions). Voltando às variáveis originais, a solução geral para um autovalor de energia E é
\psi_E(x) = A\,D_{\nu}\!\bigl(z(x)\bigr) + B\,D_{\nu}\!\bigl(-z(x)\bigr),
onde
\nu = -\tfrac{1}{2} - i\,\frac{E}{\hbar\omega},\qquad z(x)=e^{i\pi/4}\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\;x.
Aqui A e B são constantes complexas determinadas por condições de contorno (por exemplo escolha de combinação de ondas com comportamento físico desejado). As funções D_{\nu}(z) são bem estudadas: para \nu complexo elas continuam a definir soluções linearmente independentes e têm expansão em termos de confluent hypergeometric functions; não é necessário memorizar fórmulas longas — o importante é que existem expressões fechadas e tabuladas.

Passo 6

Interpretação física: espectro de energia e normalização.\n
  • A equação permite qualquer valor real de E. Não existe um conjunto discreto de autovalores {`a la} oscilador harmônico normal; em vez disso o espectro é contínuo: \;E\in\mathbb{R}\;. Isso decorre fisicamente do fato de V(x)=-\tfrac{1}{2}kx^2 é não limitado inferiormente (vai a -\infty quando |x|\to\infty), portanto não há estados ligados estacionários com energia quantizada.\n
  • As soluções \psi_E(x) obtidas são funções de onda típicas de estados de espalhamento/estaçãores contínuos: para |x|\to\infty elas oscilam rapidamente (fase quadrática dominando), não decaem exponencialmente, e portanto não são quadrado-integráveis no sentido usual (não pertencem a L^2(\mathbb{R})). Uma maneira fácil de ver isso qualitativamente é o argumento WKB: o momento clássico para grande |x| é p(x)\approx\sqrt{2m\cdot\tfrac{1}{2}k x^2}=\sqrt{m k}\,|x|, logo a fase acumulada é \sim \dfrac{1}{\hbar}\int p\,dx \sim \dfrac{\sqrt{m k}}{2\hbar} x^2, isto é, a fase cresce como x^2 e gera termos oscilatórios do tipo e^{\pm i\,(\text{const})x^2}. Oscilações puras (sem decaimento) implicam falta de normalização em L^2.\n
  • Apesar disso, uma base útil de estados pode ser construída com autoestados com normalização de Dirac (delta-normalização) ou formando pacotes de ondas (superposição contínua em E) que são normáveis e descrevem evolução física. A física do oscilador invertido está relacionada a espalhamento e a instabilidade (pacotes que se espalham exponencialmente em tempo real no problema dependente do tempo).

Passo 7

Resumo prático e como usar essas soluções na prova (dicas).\n
  • Passos para reproduzir numa prova: 1) escrever a equação; 2) escalar x para variável adimensional \xi; 3) fazer rotação/reescalamento z=e^{i\pi/4}\sqrt{2}\,\xi para reconhecer a equação de Weber; 4) escrever a solução em termos de D_{\nu}(z) e identificar \nu. Esses quatro passos são suficientes para “resolver explicitamente” o problema pedido sem álgebra de operadores.\n
  • No enunciado peça-se a “determinação dos estados de energia e das funções de onda”: a resposta esperada é que o espectro é contínuo ( E\in\mathbb{R}) e as funções de onda estacionárias são dadas pelas combinações lineares das funções de parabolas mostradas no Passo 5, com \nu=-\tfrac{1}{2}-iE/(\hbar\omega).\n
  • Não tente normalizar as \psi_E em L^2 — elas não são normalizáveis; em vez disso, se necessário, diga que se trabalha com normalização de Dirac ou com pacotes de ondas.

Resposta

Espectro: E\in\mathbb{R} (contínuo, não há níveis discretos ligados).\n
Funções de onda estacionárias (solução geral para cada E\in\mathbb{R}):
\psi_E(x)=A\,D_{\nu}\!\Bigl(e^{i\pi/4}\sqrt{2}\,\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}\,x\Bigr) + B\,D_{\nu}\!\Bigl(-e^{i\pi/4}\sqrt{2}\,\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}\,x\Bigr),
com
\nu = -\tfrac{1}{2}-i\,\dfrac{E}{\hbar\omega},\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},
e A,B constantes (combinações apropriadas dão estados com comportamento físico desejado).

Exercícios relacionados