(10) A parede de um trocador de calor de líquido-gás tem uma área superficial no lado do líquido de 2,1 \mathrm{~m}^{2}(0,7 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}) com um coeficiente convectivo de transferência de calor de \mathbf{2 4 0} \mathbf{W} / \mathbf{m}^{\mathbf{2}} . \mathbf{K}. No outro lado da parede do trocador de calor escoa um gás. A parede tem 98 aletas finas ( K=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de \mathbf{1 , 6 ~ c m} de espessura e \mathbf{1 , 6 ~ c m} de profundidade, como mostrado no esquema ao lado. As dimensões da aleta e a espessura da parede permitem que se utilize um coeficiente convectivo de transferência de calor igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}
a) (15) determine a taxa de transferência de calor para uma aleta se \theta \mathrm{e}=35^{\circ} \mathrm{C} e a ponta da aleta em x=L perde calor por convecção. b) (5) determine a eficiência de uma aleta. c) (10) a convecção das aletas é preferida? Explique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Determinar a taxa de transferência de calor para uma aleta (uma só) quando \theta_{e}=35^\circ\mathrm{C} e a ponta da aleta em x=L perde calor por convecção.
  2. (b) Determinar a eficiência dessa aleta.
  3. (c) Dizer se a convecção nas aletas é preferida, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas no enunciado (peguei esses dados do texto do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Área no lado do líquido: }2{,}1\\ \mathrm{m}^2\\ (0{,}7\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m}),\\\ &h_{\text{líquido}}=240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K},\\\ &\text{no lado do gás: }h=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\\ (\text{dado no enunciado}),\\\ &\text{Número de aletas: }98,\\\ &k_{\text{aleta}}=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},\\\ &\text{espessura da aleta }t=1{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}016\\ \mathrm{m},\\\ &\text{profundidade/altura da aleta (na direçao perpendicular a }t\text{): }b=1{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}016\\ \mathrm{m},\\\ &\theta_{e}=35^\circ\mathrm{C}\\ (\text{interpreto isto como } \theta_b=\\ T_{\text{base}}-T_{\infty} =35\\ \mathrm{K}). \end{aligned}Áííáúç
Importante: o enunciado refere-se a um esquema “como mostrado no esquema ao lado” que provavelmente indica o comprimento da aleta L (a projeção da aleta desde a base até a ponta). Esse comprimento L NÃO foi fornecido no texto que você mandou. A determinação numérica de (a) e (b) exige o valor de L. Portanto não é possível fornecer valores numéricos finais para (a) e (b) sem esse dado geométrico (ou sem a figura que mostre L). Não vou inventar L. O que posso fazer — e vou fazer nos passos seguintes — é:
  • apresentar a teoria necessária, com todas as fórmulas, explicando cada termo passo a passo (para você poder aplicar direto na prova quando souber L);
  • calcular todos os coeficientes que NÃO dependem de L (assim fica fácil inserir L e obter o resultado numérico);
  • dar a expressão final dependente de L;
  • responder qualitativamente (c).

Passo 2

Conceito básico e equação diferencial da aleta (passo-a-passo didático):
  • A aleta é uma barra de seção constante que perde calor por convecção nas faces laterais e na ponta. Para uma aleta de seção retangular (espessura t, profundidade b no sentido perpendicular), a equação unidimensional estacionária (balanço de energia) leva à equação diferencial
\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}x^2}-m^2\theta=0,
onde \theta(x)=T(x)-T_\infty é o excesso de temperatura local (temperatura local menos temperatura ambiente do gás), e m é um parâmetro que mede a razão entre perda por convecção e condução.
  • Para seção retangular com perímetro exposto P e área da seção transversal A_c,
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Agora vamos expressar P e A_c para a nossa aleta retangular:
A_c = t\cdot b,\qquad P = 2b + 2t.
Com os dados do enunciado t=b=0{,}016\\ \mathrm{m}, então
A_c = 0{,}016\cdot0{,}016=0{,}000256\\ \mathrm{m}^2,
P = 2(0{,}016)+2(0{,}016)=0{,}064\\ \mathrm{m}.
Substituindo em m:
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Mas note: quando b e t são diferentes e t é pequeno, a expressão simplifica para m\approx\sqrt{\dfrac{2h}{kt}} (pois P\approx2b e A_c\approx bt e b cancela). No nosso caso numérico, tanto faz usar a forma geral ou a forma simplificada — ambas são coerentes; vou usar a forma direta com os valores numéricos já conhecidos.

Passo 3

Cálculo numérico do parâmetro m (esta parte não precisa de L):
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}=\sqrt{\frac{100\cdot 0{,}064}{10\cdot 0{,}000256}}.
Faço a conta passo a passo:
\frac{hP}{kA_c}=\frac{100\cdot 0{,}064}{10\cdot 0{,}000256}=\frac{6{,}4}{0{,}00256}=2500.
Logo
m=\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{m}^{-1}.
Obs.: se em vez de usar a forma geral usássemos a simplificada m\approx\sqrt{\dfrac{2h}{kt}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot100}{10\cdot0{,}016}}=\sqrt{1250}\approx35{,}355\\ \mathrm{m}^{-1}. A diferença vem do uso ou não da aproximação P\approx2b. Como aqui b=t, a forma correta (sem aproximação) dá m=50\\ \mathrm{m}^{-1}. Vou seguir com o valor exato m=50\\ \mathrm{m}^{-1} (obtido da forma geral). Note que todos esses passos eu expliquei para você poder reproduzir na prova.

Passo 4

Solução da equação e expressão para o fluxo térmico da aleta com ponta convectiva:
  • A solução da equação diferencial com condição na base \theta(0)=\theta_b e condição convectiva na ponta (em x=L: -kA_c\theta'(L)=hA_{\text{tip}}\theta(L), com A_{\text{tip}}=t\cdot b) leva à fórmula padrão (livro-texto) para a aleta de seção constante:
q_f=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\;\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Expliquei as partes:
  • \sqrt{hPkA_c} é um fator com unidade \mathrm{W}/\mathrm{K};
  • \theta_b é o excesso de temperatura na base \theta_b=T_{\text{base}}-T_\infty (aqui \theta_b=35\\ \mathrm{K} segundo o enunciado);
  • a fração hiperbólica contém \operatorname{sinh},\operatorname{cosh} em função de mL e o termo adimensional \dfrac{h}{mk} que representa a convecção na ponta relativamente à condução da aleta.

Passo 5

Calcular os fatores numéricos que não dependem de L (para acelerar sua conta na prova):
Primeiro o prefator
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{100\cdot 0{,}064\cdot 10\cdot 0{,}000256}.
Calcule dentro da raiz:
100\cdot 0{,}064\cdot 10\cdot 0{,}000256 = 0{,}016384.
Logo
\sqrt{hPkA_c}=\sqrt{0{,}016384}=0{,}128\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
Também calcule o termo adimensional
\frac{h}{mk}=\frac{100}{50\cdot 10}=\frac{100}{500}=0{,}2.
Portanto a expressão prática para o calor por aleta fica:
q_f(L)=0{,}128\;\theta_b\;\frac{\operatorname{sinh}(50L)+0{,}2\operatorname{cosh}(50L)}{\operatorname{cosh}(50L)+0{,}2\operatorname{sinh}(50L)}\quad\text{(em W)}.
Substituindo \theta_b=35\\ \mathrm{K},
q_f(L)=4{,}48\;\frac{\operatorname{sinh}(50L)+0{,}2\operatorname{cosh}(50L)}{\operatorname{cosh}(50L)+0{,}2\operatorname{sinh}(50L)}\quad\text{(em W)}.
Isto é uma expressão final porém dependente de L. Para obter um valor numérico você precisa inserir L em metros e calcular as hiperbólicas.

Passo 6

Fórmula e cálculo da eficiência da aleta (passo-a-passo):
  • A eficiência da aleta é definida por
\eta_f=\frac{q_f}{hA_f\theta_b},
onde A_f é a área total da aleta que troca calor por convecção (faces laterais + ponta):
A_f = P L + A_{\text{tip}} = (2b+2t)L + (t b).
Com os valores numéricos P=0{,}064\\ \mathrm{m} e A_{\text{tip}}=0{,}000256\\ \mathrm{m}^2,
A_f=0{,}064\,L + 0{,}000256\quad(\mathrm{m}^2).
Substituindo q_f(L) e simplificando \theta_b (cancela),
\eta_f(L)=\frac{0{,}128\;\theta_b\;F(L)}{h(0{,}064L+0{,}000256)\theta_b} =\frac{0{,}128\;F(L)}{100\;(0{,}064L+0{,}000256)},
onde
F(L)=\frac{\operatorname{sinh}(50L)+0{,}2\operatorname{cosh}(50L)}{\operatorname{cosh}(50L)+0{,}2\operatorname{sinh}(50L)}.
Portanto
\eta_f(L)=\frac{0{,}00128\;F(L)}{0{,}064L+0{,}000256}.
Esta fórmula dá a eficiência em função de L; novamente, para um valor numérico preciso você precisa do comprimento L da aleta.

Passo 7

Como proceder na prova (guia rápido para aplicar em 1 linha de conta)
  1. Obtenha L (metros) a partir do enunciado/figura.
  2. Calcule mL=50\cdot L.
  3. Calcule \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) (para mL grande, use aproximações exponenciais; para mL pequeno, use séries ou calculadora).
  4. Avalie
F(L)=\frac{\operatorname{sinh}(mL)+0{,}2\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+0{,}2\operatorname{sinh}(mL)}.
  1. Obtenha q_f=4{,}48\;F(L)\\ \mathrm{W}.
  2. Obtenha \eta_f=\dfrac{0{,}00128\;F(L)}{0{,}064L+0{,}000256}.
    Pronto — em 6 passos você tem respostas numéricas assim que souber L.

Passo 8

Comportamento limite e interpretação física (útil para a prova e para entender se as aletas são boas):
  • Se a aleta for “longa” no sentido que mL\gg1, então \operatorname{sinh}(mL) e \operatorname{cosh}(mL) crescem muito e a razão F(L) tende a 1. Nesse caso
q_f\to 4{,}48\\ \mathrm{W}\quad(\text{valor máximo por aleta com nossos dados numéricos de prefator}).áé
  • Se a aleta for “curta” ( mL\ll1), usa-se expansão em série e F(L) fica menor do que 1, reduzindo q_f.
  • A eficiência da aleta \eta_f também depende de L: aleta muito longa pode aumentar a área mas ter eficiência baixa por unidade de área; existe um balanço prático.

Passo 9

Resposta qualitativa à parte (c) — “a convecção das aletas é preferida?”
  • Sim: da perspectiva prática, a adição de aletas do lado do gás é geralmente preferida quando o coeficiente convectivo do gás ( h=100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}) é muito menor que o coeficiente do líquido ( h_{\text{líq}}=240\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}í). As aletas aumentam a área de troca no lado do gás e reduzem a resistência térmica do lado do gás, que é o gargalo.
  • Limitações: a vantagem só é real se a aleta conduzir calor suficientemente bem (aqui k=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K} razoável) e se a eficiência da aleta não for muito baixa. Aletas muito finas ou muito longas podem ter eficiência baixa; aí o ganho é pequeno apesar da área aumentada. Portanto, em geral: sim é preferível adicionar aletas neste caso, mas projetar L, t e espaçamento adequados é crucial.

Resposta

(a) q_f(L)=4{,}48\;\dfrac{\operatorname{sinh}(50L)+0{,}2\operatorname{cosh}(50L)}{\operatorname{cosh}(50L)+0{,}2\operatorname{sinh}(50L)}\\ \mathrm{W}. (É necessário saber L em metros para obter valor numérico.)\n
(b) \displaystyle \eta_f(L)=\frac{0{,}00128\;F(L)}{0{,}064L+0{,}000256}, onde F(L)=\dfrac{\operatorname{sinh}(50L)+0{,}2\operatorname{cosh}(50L)}{\operatorname{cosh}(50L)+0{,}2\operatorname{sinh}(50L)}. (Também depende de L.)\n
(c) Sim — convectar através de aletas é, em princípio, preferível aqui porque o lado do gás tem h significativamente menor que o lado do líquido; as aletas aumentam a área do lado do gás e reduzem a resistência térmica do lado fraco. Contudo, o benefício real depende de L, da condutividade k e da eficiência da aleta: aletas mal projetadas (muito longas ou muito finas) podem ter eficiência baixa e pouco ganho prático.

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