(10) A parede de um trocador de calor de líquido-gás tem uma área superficial no lado do líquido de
com um coeficiente convectivo de transferência de calor de
. No outro lado da parede do trocador de calor escoa um gás. A parede tem 98 aletas finas (
) de
de espessura e
de profundidade, como mostrado no esquema ao lado. As dimensões da aleta e a espessura da parede permitem que se utilize um coeficiente convectivo de transferência de calor igual a
a) (15) determine a taxa de transferência de calor para uma aleta se
e a ponta da aleta em x=L perde calor por convecção. b) (5) determine a eficiência de uma aleta. c) (10) a convecção das aletas é preferida? Explique.
a) (15) determine a taxa de transferência de calor para uma aleta se
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Determinar a taxa de transferência de calor para uma aleta (uma só) quando
e a ponta da aleta em perde calor por convecção. - (b) Determinar a eficiência dessa aleta.
- (c) Dizer se a convecção nas aletas é preferida, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas no enunciado (peguei esses dados do texto do enunciado):
Importante: o enunciado refere-se a um esquema “como mostrado no esquema ao lado” que provavelmente indica o comprimento da aleta
(a projeção da aleta desde a base até a ponta). Esse comprimento
NÃO foi fornecido no texto que você mandou. A determinação numérica de (a) e (b) exige o valor de
. Portanto não é possível fornecer valores numéricos finais para (a) e (b) sem esse dado geométrico (ou sem a figura que mostre
). Não vou inventar
. O que posso fazer — e vou fazer nos passos seguintes — é:
- apresentar a teoria necessária, com todas as fórmulas, explicando cada termo passo a passo (para você poder aplicar direto na prova quando souber
); - calcular todos os coeficientes que NÃO dependem de
(assim fica fácil inserir e obter o resultado numérico); - dar a expressão final dependente de
; - responder qualitativamente (c).
Passo 2
Conceito básico e equação diferencial da aleta (passo-a-passo didático):
- A aleta é uma barra de seção constante que perde calor por convecção nas faces laterais e na ponta. Para uma aleta de seção retangular (espessura
, profundidade no sentido perpendicular), a equação unidimensional estacionária (balanço de energia) leva à equação diferencial
onde
é o excesso de temperatura local (temperatura local menos temperatura ambiente do gás), e
é um parâmetro que mede a razão entre perda por convecção e condução.
- Para seção retangular com perímetro exposto
e área da seção transversal ,
Agora vamos expressar
e
para a nossa aleta retangular:
Com os dados do enunciado
, então
Substituindo em
:
Mas note: quando
e
são diferentes e
é pequeno, a expressão simplifica para
(pois
e
e
cancela). No nosso caso numérico, tanto faz usar a forma geral ou a forma simplificada — ambas são coerentes; vou usar a forma direta com os valores numéricos já conhecidos.
Passo 3
Cálculo numérico do parâmetro
(esta parte não precisa de
):
Faço a conta passo a passo:
Logo
Obs.: se em vez de usar a forma geral usássemos a simplificada
. A diferença vem do uso ou não da aproximação
. Como aqui
, a forma correta (sem aproximação) dá
. Vou seguir com o valor exato
(obtido da forma geral). Note que todos esses passos eu expliquei para você poder reproduzir na prova.
Passo 4
Solução da equação e expressão para o fluxo térmico da aleta com ponta convectiva:
- A solução da equação diferencial com condição na base
e condição convectiva na ponta (em : , com ) leva à fórmula padrão (livro-texto) para a aleta de seção constante:
Expliquei as partes:
-
é um fator com unidade ; -
é o excesso de temperatura na base (aqui segundo o enunciado); - a fração hiperbólica contém
em função de e o termo adimensional que representa a convecção na ponta relativamente à condução da aleta.
Passo 5
Calcular os fatores numéricos que não dependem de
(para acelerar sua conta na prova):
Primeiro o prefator
Primeiro o prefator
Calcule dentro da raiz:
Logo
Também calcule o termo adimensional
Portanto a expressão prática para o calor por aleta fica:
Substituindo
,
Isto é uma expressão final porém dependente de
. Para obter um valor numérico você precisa inserir
em metros e calcular as hiperbólicas.
Passo 6
Fórmula e cálculo da eficiência da aleta (passo-a-passo):
- A eficiência da aleta é definida por
onde
é a área total da aleta que troca calor por convecção (faces laterais + ponta):
Com os valores numéricos
e
,
Substituindo
e simplificando
(cancela),
onde
Portanto
Esta fórmula dá a eficiência em função de
; novamente, para um valor numérico preciso você precisa do comprimento
da aleta.
Passo 7
Como proceder na prova (guia rápido para aplicar em 1 linha de conta)
- Obtenha
(metros) a partir do enunciado/figura. - Calcule
. - Calcule
e (para grande, use aproximações exponenciais; para pequeno, use séries ou calculadora). - Avalie
- Obtenha
. - Obtenha
.
Pronto — em 6 passos você tem respostas numéricas assim que souber.
Passo 8
Comportamento limite e interpretação física (útil para a prova e para entender se as aletas são boas):
- Se a aleta for “longa” no sentido que
, então e crescem muito e a razão tende a 1. Nesse caso
- Se a aleta for “curta” (
), usa-se expansão em série e fica menor do que 1, reduzindo . - A eficiência da aleta
também depende de : aleta muito longa pode aumentar a área mas ter eficiência baixa por unidade de área; existe um balanço prático.
Passo 9
Resposta qualitativa à parte (c) — “a convecção das aletas é preferida?”
- Sim: da perspectiva prática, a adição de aletas do lado do gás é geralmente preferida quando o coeficiente convectivo do gás (
) é muito menor que o coeficiente do líquido ( ). As aletas aumentam a área de troca no lado do gás e reduzem a resistência térmica do lado do gás, que é o gargalo. - Limitações: a vantagem só é real se a aleta conduzir calor suficientemente bem (aqui
razoável) e se a eficiência da aleta não for muito baixa. Aletas muito finas ou muito longas podem ter eficiência baixa; aí o ganho é pequeno apesar da área aumentada. Portanto, em geral: sim é preferível adicionar aletas neste caso, mas projetar , e espaçamento adequados é crucial.
Resposta
(a)
. (É necessário saber
em metros para obter valor numérico.)\n
(b) , onde
. (Também depende de
.)\n
(c) Sim — convectar através de aletas é, em princípio, preferível aqui porque o lado do gás tem significativamente menor que o lado do líquido; as aletas aumentam a área do lado do gás e reduzem a resistência térmica do lado fraco. Contudo, o benefício real depende de
, da condutividade
e da eficiência da aleta: aletas mal projetadas (muito longas ou muito finas) podem ter eficiência baixa e pouco ganho prático.
(b)
(c) Sim — convectar através de aletas é, em princípio, preferível aqui porque o lado do gás tem