(15) Considere um tubo de aço de 50 mm de diâmetro interno (Di) e 60 mm de diâmetro externo (De) coberto com uma isolação para serviço de alta temperatura, que tem uma condutividade térmica homogênea de 0,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e uma espessura de 25 \mathrm{mm} . \mathrm{O} vapor escoa no tubo, em uma quantidade de 99 \%, está a 150^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade do aço para a parede interna é de \mathbf{4 , 6 1 \times 1 0 - 1 ~ m . K / W ~ e ~ s u a ~ t e m p e r a t u r a ~} na superfície interna do tubo é mantida a 110^{\circ} \mathrm{C}. A condutividade do aço para a parede externa é igual a 17 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e a temperatura do fluido externo é igual a 10^{\circ} \mathrm{C}. De posse dessas informações:
a) (10) Esboce o circuito térmico equivalente para o sistema em questão indicando a direção da transferência de calor. b) (20) Estime a perda de calor por comprimento unitário do tubo isolado. c) (5) Qual a temperatura da superfície externa do tubo?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) desenhar/esboçar o circuito térmico equivalente indicando a direção da transferência de calor;
  • (b) estimar a perda de calor por comprimento unitário do tubo isolado (ou seja, q' em W por metro de comprimento);
  • (c) determinar a temperatura da superfície externa do tubo (isto é, a temperatura na superfície externa do tubo de aço, à junção aço/isolação).
Dados fornecidos (resumidos, todos os números em unidades SI):
  • diâmetro interno do tubo: \mathrm{Di}=50\\ \mathrm{mm}.
  • diâmetro externo do tubo: \mathrm{De}=60\\ \mathrm{mm}.
  • condutividade térmica da isolação: k_{\text{ins}}=0{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • espessura da isolação: t_{\text{ins}}=25\\ \mathrm{mm}.
  • vapor no interior a 150^\circ\mathrm{C} (mas a superfície interna do tubo é mantida em 110^\circ\mathrm{C} — portanto usamos T_{r_1}=110^\circ\mathrm{C} como temperatura na superfície interna).
  • condutividade do aço (tubo): k_{\text{steel}}=17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • temperatura do fluido externo: T_\infty=10^\circ\mathrm{C}.
Observações / hipótese necessária (não foi fornecido coeficiente convectivo externo):
  • vou assumir coeficiente convectivo externo típico para convecção natural/rápida no ar: h_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • vou trabalhar por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m} (assim q' será a perda por metro).
Definições geométricas (convertendo para metros):
  • raio interno do tubo (superfície interna): r_1=\tfrac{\mathrm{Di}}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • raio externo do tubo (superfície aço/isolação): r_2=\tfrac{\mathrm{De}}{2}=0{,}030\\ \mathrm{m}.
  • raio externo da isolação: r_3=r_2+t_{\text{ins}}=0{,}030+0{,}025=0{,}055\\ \mathrm{m}.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Modelo físico e circuito térmico equivalente (explicação didática):
  • O calor flui radialmente do interior para o exterior (do vapor → superfície interna do tubo → parede de aço → isolação → ar ambiente). A direção é do lado quente (110°C na superfície interna) para o ambiente frio (10°C).
  • Cada elemento introduz uma resistência térmica em série:
    1. condução radial através da parede de aço (cilíndrica);
    2. condução radial através da isolação (cilíndrica);
    3. convecção na superfície externa da isolação para o fluido ambiente.
  • Fórmula básica: para regime estacionário unidimensional radial em cilindros concêntricos, a taxa de calor por comprimento q' (W/m) é dada por
q'=\frac{T_{r_1}-T_\infty}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}}=R_{\text{steel}}+R_{\text{ins}}+R_{\text{conv}}.
Vou agora apresentar e explicar cada resistência.

Passo 3

Resistência de condução radial em cilindro (explicação e aplicação ao aço):
  • Fórmula (resistência por comprimento L):
R_{\text{cond,cyl}}=\frac{\ln\!\left(r_{\text{out}}/r_{\text{in}}\right)}{2\pi k L}.
Aqui: r_{\text{in}} e r_{\text{out}} são os raios interno e externo do trecho cilíndrico; k é a condutividade térmica do material; L é comprimento (aqui usamos L=1\\ \mathrm{m} para encontrar q' em W/m).
  • Aplicando à parede de aço (entre r_1 e r_2):
R_{\text{steel}}=\frac{\ln\!\left(r_2/r_1\right)}{2\pi k_{\text{steel}} \,L}.
  • Substituindo números: \ln(r_2/r_1)=\ln(0{,}03/0{,}025)=\ln(1{,}2)=0{,}1823216.
R_{\text{steel}}=\frac{0{,}1823216}{2\pi\cdot 17\cdot 1}= \frac{0{,}1823216}{106{,}81415}\approx 0{,}00171\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
(ou seja, R_{\text{steel}}\approx 1{,}71\times10^{-3}\\ \mathrm{K\cdot m/W}). Comentário: a resistência do aço é muito pequena por causa do alto k do aço e da pequena espessura.

Passo 4

Resistência de condução através da isolação (explicação e cálculo):
  • Mesma fórmula de condutância radial, agora para a isolação entre r_2 e r_3:
R_{\text{ins}}=\frac{\ln\!\left(r_3/r_2\right)}{2\pi k_{\text{ins}} L}.
  • Numérico: \ln(r_3/r_2)=\ln(0{,}055/0{,}03)=\ln(1{,}833333)=0{,}6061358.
R_{\text{ins}}=\frac{0{,}6061358}{2\pi\cdot 0{,}1\cdot 1}=\frac{0{,}6061358}{0{,}62831853}\approx 0{,}96490\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • Observação didática: a isolação, com k=0{,}1\\ \mathrm{W/(mK)} e espessura relativamente grande, domina a resistência térmica (muito maior que o aço).

Passo 5

Resistência convectiva na superfície externa da isolação (explicação e cálculo):
  • Fórmula da resistência convectiva por comprimento L:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{\text{ext}}\, A_{\text{ext}}}=\frac{1}{h_{\text{ext}}\, 2\pi r_3 L}.
  • Com h_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{W/(m^2K)}, r_3=0{,}055\\ \mathrm{m} e L=1\\ \mathrm{m}:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0{,}055\cdot 1}=\frac{1}{3{,}4557519}\approx 0{,}28937\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • Comentário: a resistência convectiva é relevante, mas ainda menor que a resistência da isolação, que é dominante.

Passo 6

Resistência total e cálculo da perda de calor por unidade de comprimento:
  • Somando as resistências em série:
R_{\text{total}}=R_{\text{steel}}+R_{\text{ins}}+R_{\text{conv}}.
  • Numérico:
R_{\text{total}}\approx 0{,}00171+0{,}96490+0{,}28937\approx 1{,}2560\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  • A diferença de temperatura disponível é T_{r_1}-T_\infty=110^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=100\\ \mathrm{K}.
  • Assim a perda por comprimento unitário é:
q'=\frac{T_{r_1}-T_\infty}{R_{\text{total}}}=\frac{100}{1{,}2560}\approx 79{,}62\\ \mathrm{W/m}.
  • Interpretação: cerca de 80\\ \mathrm{W} fugindo por cada metro de tubo — isolação reduz muito a perda, mas ainda tem fluxo.

Passo 7

Cálculo da temperatura nas superfícies (especialmente da superfície externa do tubo de aço em r_2):
  • Primeiro, temperatura na superfície externa da isolação ( r_3) pode ser obtida somando a queda de temperatura pela convecção:
T_{r_3}=T_\infty + q' R_{\text{conv}}.
Numérico:
T_{r_3}=10 + 79{,}62\cdot 0{,}28937\approx 10 + 23{,}04 \approx 33{,}04^\circ\mathrm{C}.
  • Em seguida, subir através da isolação para obter a temperatura na superfície externa do tubo (junção aço/isolação, r_2):
T_{r_2}=T_{r_3} + q' R_{\text{ins}}.
Numérico:
T_{r_2}=33{,}04 + 79{,}62\cdot 0{,}96490\approx 33{,}04 + 76{,}82 \approx 109{,}86^\circ\mathrm{C}.
  • Como checagem, a queda através do aço é pequena:
\Delta T_{\text{steel}}=q'R_{\text{steel}}\approx 79{,}62\cdot 0{,}00171\approx 0{,}14^\circ\mathrm{C},
logo T_{r_1}-T_{r_2}\approx 0{,}14^\circ\mathrm{C} e T_{r_1}\approx 110^\circ\mathrm{C} (consistente com a condição dada).

Passo 8

Esboço verbal do circuito térmico equivalente (resumo para o item (a)):
  • Fonte quente: T_{r_1}=110^\circ\mathrm{C} (superfície interna).
  • Em série: R_{\text{steel}}=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_{\text{steel}}} R_{\text{ins}}=\dfrac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{\text{ins}}} R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h_{\text{ext}}2\pi r_3}.
  • Termo final: ambiente T_\infty=10^\circ\mathrm{C}.
  • Direção do calor: de T_{r_1} para T_\infty (do interior para o exterior). (Este esboço corresponde ao diagrama em série: T_{r_1} R_{\text{steel}} — nodo T_{r_2} R_{\text{ins}} — nodo T_{r_3} R_{\text{conv}} T_\infty.)

Resposta

(a) Circuito térmico equivalente: T_{r_1}(110^\circ\mathrm{C}) \longrightarrow R_{\text{steel}} \longrightarrow T_{r_2} \longrightarrow R_{\text{ins}} \longrightarrow T_{r_3} \longrightarrow R_{\text{conv}} \longrightarrow T_\infty(10^\circ\mathrm{C}) com o calor fluindo do 110^\circ\mathrm{C} para 10^\circ\mathrm{C}.\n(b) q'\approx 79{,}6\\ \mathrm{W/m}.\n(c) Temperatura da superfície externa do tubo (junção aço/isolação, r_2): T_{r_2}\approx 109{,}9^\circ\mathrm{C}.

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