Utilizando-se um molinete cuja equação é
que
e
determinou-se o
de rotações em 40 segundos nas profundidades mostradas na tabela abaixo ao longo de uma vertical com altura de
. Ao se deslocar o molinete do fundo à superficie com velocidade linear constante obteve-se 395 rotações em 100 segundos. Calcular a velocidade média na vertical, usando todos os métodos possiveis.
0,10
0,60
1,20
1,80
2,40
2,80
N
318
305
290
273
230
183
|
|
0,10 | 0,60 | 1,20 | 1,80 | 2,40 | 2,80 |
| N | 318 | 305 | 290 | 273 | 230 | 183 |
Passo 1
O enunciado dá uma calibração do molinete e medidas de rotações em pontos ao longo de uma vertical de altura
.\n\nAs perguntas que precisamos responder: calcular a velocidade média na vertical, usando todos os métodos possíveis (ou seja: usando as medidas pontuais estacionárias, usando a varredura do molinete em movimento, integrando/ponderando no espaço, ajustando uma reta, etc.).\n\nInformações dadas (todas explicitadas):\n\n- Equação de calibração do molinete:
em que
está em
e
em
(rotações por segundo).\n- Foram contadas
rotações em
nas profundidades da tabela (essas
são números de rotações em 40 s):\n[\begin{array}{c|cccccc}
h\ (\mathrm{m}) & 0{,}10 & 0{,}60 & 1{,}20 & 1{,}80 & 2{,}40 & 2{,}80\hline
N & 318 & 305 & 290 & 273 & 230 & 183
\end{array}]\n- Ao deslocar o molinete do fundo à superfície com velocidade vertical constante obteve-se 395 rotações em .\n\nObservações necessárias para a resolução (apenas identificação do que está dado):\n\n- A altura total da vertical é
. Os pontos amostrados vão de
até
, ou seja, não coincidem exatamente com as extremidades
e
; isso será levado em conta quando for preciso estimar a média sobre toda a profundidade.\n- Não há ambiguidade no que foi dado: os
são contagens em
; a varredura deu 395 rotações em
.\n\nA partir daqui começamos a calcular passo a passo as diferentes maneiras de estimar a velocidade média vertical.
N & 318 & 305 & 290 & 273 & 230 & 183
\end{array}]\n- Ao deslocar o molinete do fundo à superfície com velocidade vertical constante obteve-se 395 rotações em
Passo 2
Primeiro vamos transformar as contagens estacionárias em frequências (rps) e depois em velocidades puntuais. Método e fórmulas usadas:\n\n- Frequência de rotação em um ponto amostrado:
porque
é o número de rotações em
.\n- Conversão frequência → velocidade pela calibração:
\n\nCalculemos
para cada profundidade e depois
. (Faço as contas explicitamente para você poder reproduzir na prova.)\n\nPara
:
\nUsando a calibração:
\n\nPara
:
\n
\n\nPara
:
\n
\n\nPara
:
\n
\n\nPara
:
\n
\n\nPara
:
\n
\n\nResumo dos valores pontuais (para consulta):\n
Passo 3
Método 1 — média simples (média aritmética) das velocidades pontuais.\n\nMotivação/teoria curta: a média aritmética é
. Serve quando queremos um valor representativo sem ponderar por distância; como a calibração é linear, esta média é equivalente a converter a média das frequências.\n\nCalculemos:\n
\n\nObservação didática: pela linearidade da calibração
, a média aritmética de
é a mesma que
vezes a média de
mais
. Então dá para trabalhar na escala de
ou na escala de
, dá no mesmo.
Passo 4
Método 2 — média espacial ponderada pelo comprimento (média sobre a profundidade) usando a regra dos trapézios (integração numérica) entre os pontos amostrados.\n\nPor que usar isso: na física de perfis verticais, a média verdadeira ao longo da profundidade é a média espacial\n
\nonde
é o comprimento da faixa onde integramos. Se temos amostras em profundidades irregulares, a regra dos trapézios fornece uma aproximação simples e robusta:\n
\n\nPrimeiro calculei a média sobre o intervalo amostrado
(comprimento
). Somando as áreas trapezoidais entre pontos obtive a integral aproximada igual a
. Portanto a média no intervalo amostrado é\n
\n\nDetalhe: os termos das parcelas trapezoidais foram calculados explicitamente para cada trecho entre profundidades (mostrei as parcelas durante os cálculos).
Passo 5
Método 3 — média espacial sobre toda a profundidade total
a
, estimando os valores nas extremidades por extrapolação linear local.\n\nMotivação: como a vertical tem
e os pontos não alcançam exatamente
e
, podemos estimar os valores nas extremidades extrapolando linearmente os dois pontos mais próximos de cada extremidade (procedimento simples e usual quando faltam pequenas sobras de amostragem).\n\nExtrapolei:\n- para
usei os dois primeiros pontos e encontrei
;\n- para
usei os dois últimos pontos e encontrei
.\n\nCom esses pontos acrescidos, integrei por trapézios de
a
e obtive integral total aproximada
. Assim a média sobre toda a profundidade é\n
\n\nComentário: este método é uma aproximação razoável quando as sobras na extremidade são pequenas (aqui são
e
). Se você tiver que justificar no exame, diga que extrapolou linearmente as proximidades e integrou por trapézios.
Passo 6
Método 4 — converter a medição em movimento (varredura do molinete com velocidade vertical constante) em velocidade média.\n\nDados: durante a subida do molinete do fundo à superfície, foram contabilizadas
rotações em
.\n\nTeoria simples: o total de rotações dividido pelo tempo dá a frequência média durante a varredura:\n
\n\nComo o molinete se deslocou com velocidade vertical constante, o tempo gasto em cada faixa de profundidade é proporcional ao comprimento: portanto a média temporal durante a varredura é a média espacial ao longo da profundidade (é exatamente o que queremos) — isto é, essa medição dá a média de
ponderada pelo comprimento.\n\nAplicando a calibração:
\n\nObservação importante (explicação intuitiva): este valor é bem menor que os valores obtidos a partir das medições estacionárias. Isso pode indicar duas coisas possíveis: (1) erros instrumentais/condições diferentes ao executar a varredura, ou (2) talvez durante a varredura o molinete não tenha trabalhado com a mesma eficiência (controle, arrasto, orientação). Em termos puramente matemáticos, a medição em varredura fornece uma média válida (tempo-ponderada), então ela é uma estimativa legítima — mas difere da média espacial obtida das medidas pontuais, então a diferença precisa ser discutida na prova como possível fonte de erro experimental.\n\nNa resolução eu apresento o valor e explico por que é conceitualmente diferente dos anteriores.
Passo 7
Método 5 — ajuste linear (regressão linear) de
em função de
, e média analítica da reta no intervalo
a
.\n\nMotivação: muitas vezes o perfil vertical é aproximável por uma reta; fazer um ajuste pelo método dos mínimos quadrados dá uma função contínua
que pode ser integrada exatamente.\n\nFazendo a regressão (cálculo de mínimos quadrados com os seis pontos
) obtive:\n
\n\nA média da reta no intervalo
é simplesmente\n
\nSubstituindo
e
:\n
\n\nComentário: esse resultado é muito próximo dos valores obtidos pelo trapézio sobre toda a profundidade, o que dá confiança nas estimativas (exceto na medição em varredura, que diverge).
Passo 8
Discussão comparativa (resumo interpretativo breve e incentivo):\n\n- Obtivemos várias estimativas legítimas da velocidade média vertical. Métodos diferentes ponderam de formas distintas (média simples das amostras, média espacial por integração, média temporal por varredura, ajuste por regressão).\n- A medição em varredura produziu um valor consideravelmente menor do que os outros métodos baseados nas medidas estacionárias; isso deve ser mencionado na prova como possível erro experimental ou condição de medida diferente.\n- Se a prova pedir “a velocidade média vertical” sem especificar o método, justifique qual média você escolheu e por quê (normalmente a média espacial sobre toda a profundidade é a mais adequada, por exemplo a média por integração/trapézios sobre
–
).\n\nAgora listo os valores finais obtidos pelos diferentes métodos para você conferir rapidamente.
Resposta
Média aritmética das velocidades pontuais:
.\nMédia por integração (trapézio) sobre o intervalo amostrado
–
:
.\nMédia por integração (trapézio) estimada sobre toda a profundidade
–
(extrapolando extremidades):
.\nMédia obtida pela varredura móvel (395 rotações em 100 s):
.\nMédia obtida por ajuste linear e integração analítica no intervalo
–
:
.