Utilizando-se um molinete cuja equação é v=0,2610 n+0,003 \mathrm{em} que V(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) e n(\mathrm{rps}) determinou-se o n^{6} de rotações em 40 segundos nas profundidades mostradas na tabela abaixo ao longo de uma vertical com altura de 3,00 \mathrm{~m}. Ao se deslocar o molinete do fundo à superficie com velocidade linear constante obteve-se 395 rotações em 100 segundos. Calcular a velocidade média na vertical, usando todos os métodos possiveis.
\mathbf{h}(\mathrm{m}) 0,10 0,60 1,20 1,80 2,40 2,80
N 318 305 290 273 230 183

Passo 1

O enunciado dá uma calibração do molinete e medidas de rotações em pontos ao longo de uma vertical de altura \,3{,}00\\ \mathrm{m}.\n\nAs perguntas que precisamos responder: calcular a velocidade média na vertical, usando todos os métodos possíveis (ou seja: usando as medidas pontuais estacionárias, usando a varredura do molinete em movimento, integrando/ponderando no espaço, ajustando uma reta, etc.).\n\nInformações dadas (todas explicitadas):\n\n- Equação de calibração do molinete: v = 0{,}2610\,n + 0{,}003, em que \,v está em \mathrm{m/s} e \,n em \mathrm{rps} (rotações por segundo).\n- Foram contadas N rotações em 40\\ \mathrm{s} nas profundidades da tabela (essas N são números de rotações em 40 s):\n[\begin{array}{c|cccccc}
h\ (\mathrm{m}) & 0{,}10 & 0{,}60 & 1{,}20 & 1{,}80 & 2{,}40 & 2{,}80\hline
N & 318 & 305 & 290 & 273 & 230 & 183
\end{array}]\n- Ao deslocar o molinete do fundo à superfície com velocidade vertical constante obteve-se 395 rotações em 100\\ \mathrm{s}.\n\nObservações necessárias para a resolução (apenas identificação do que está dado):\n\n- A altura total da vertical é 3{,}00\\ \mathrm{m}. Os pontos amostrados vão de h=0{,}10 até h=2{,}80, ou seja, não coincidem exatamente com as extremidades 0{,}00 e 3{,}00; isso será levado em conta quando for preciso estimar a média sobre toda a profundidade.\n- Não há ambiguidade no que foi dado: os N são contagens em 40\\ \mathrm{s}; a varredura deu 395 rotações em 100\\ \mathrm{s}.\n\nA partir daqui começamos a calcular passo a passo as diferentes maneiras de estimar a velocidade média vertical.

Passo 2

Primeiro vamos transformar as contagens estacionárias em frequências (rps) e depois em velocidades puntuais. Método e fórmulas usadas:\n\n- Frequência de rotação em um ponto amostrado: n = \frac{N}{40} porque N é o número de rotações em 40\\ \mathrm{s}.\n- Conversão frequência → velocidade pela calibração: v = 0{,}2610\,n + 0{,}003.\n\nCalculemos \,n para cada profundidade e depois v. (Faço as contas explicitamente para você poder reproduzir na prova.)\n\nPara h=0{,}10: n_1=\frac{318}{40}=7{,}95\\ \mathrm{rps}.\nUsando a calibração: v_1=0{,}2610\cdot 7{,}95 + 0{,}003 = 2{,}07795\\ \mathrm{m/s}.\n\nPara h=0{,}60: n_2=\frac{305}{40}=7{,}625\\ \mathrm{rps}.\n v_2=0{,}2610\cdot 7{,}625 + 0{,}003 = 1{,}993125\\ \mathrm{m/s}.\n\nPara h=1{,}20: n_3=\frac{290}{40}=7{,}25\\ \mathrm{rps}.\n v_3=0{,}2610\cdot 7{,}25 + 0{,}003 = 1{,}89525\\ \mathrm{m/s}.\n\nPara h=1{,}80: n_4=\frac{273}{40}=6{,}825\\ \mathrm{rps}.\n v_4=0{,}2610\cdot 6{,}825 + 0{,}003 = 1{,}784325\\ \mathrm{m/s}.\n\nPara h=2{,}40: n_5=\frac{230}{40}=5{,}75\\ \mathrm{rps}.\n v_5=0{,}2610\cdot 5{,}75 + 0{,}003 = 1{,}50375\\ \mathrm{m/s}.\n\nPara h=2{,}80: n_6=\frac{183}{40}=4{,}575\\ \mathrm{rps}.\n v_6=0{,}2610\cdot 4{,}575 + 0{,}003 = 1{,}197075\\ \mathrm{m/s}.\n\nResumo dos valores pontuais (para consulta):\n \begin{array}{c|cccccc} h\\ (\mathrm{m}) & 0{,}10 & 0{,}60 & 1{,}20 & 1{,}80 & 2{,}40 & 2{,}80\\hline n\\ (\mathrm{rps}) & 7{,}95 & 7{,}625 & 7{,}25 & 6{,}825 & 5{,}75 & 4{,}575\\\ v\\ (\mathrm{m/s}) & 2{,}07795 & 1{,}993125 & 1{,}89525 & 1{,}784325 & 1{,}50375 & 1{,}197075 \end{array}

Passo 3

Método 1 — média simples (média aritmética) das velocidades pontuais.\n\nMotivação/teoria curta: a média aritmética é \bar v = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} v_i. Serve quando queremos um valor representativo sem ponderar por distância; como a calibração é linear, esta média é equivalente a converter a média das frequências.\n\nCalculemos:\n \bar v_{\text{arit}}=\frac{2{,}07795+1{,}993125+1{,}89525+1{,}784325+1{,}50375+1{,}197075}{6}=1{,}7419125\\ \mathrm{m/s}.\n\nObservação didática: pela linearidade da calibração \,v=a n + b, a média aritmética de v é a mesma que \,a vezes a média de n mais b. Então dá para trabalhar na escala de n ou na escala de v, dá no mesmo.

Passo 4

Método 2 — média espacial ponderada pelo comprimento (média sobre a profundidade) usando a regra dos trapézios (integração numérica) entre os pontos amostrados.\n\nPor que usar isso: na física de perfis verticais, a média verdadeira ao longo da profundidade é a média espacial\n \bar v = \frac{1}{H}\int_{z_0}^{z_1} v(z)\,dz,\nonde H é o comprimento da faixa onde integramos. Se temos amostras em profundidades irregulares, a regra dos trapézios fornece uma aproximação simples e robusta:\n \int_{h_i}^{h_{i+1}} v\,dh \approx \frac{v_i+v_{i+1}}{2}(h_{i+1}-h_i).\n\nPrimeiro calculei a média sobre o intervalo amostrado [0{,}10,\,2{,}80] (comprimento 2{,}70\\ \mathrm{m}). Somando as áreas trapezoidais entre pontos obtive a integral aproximada igual a 4{,}81474125\\ \mathrm{m^2/s}. Portanto a média no intervalo amostrado é\n \bar v_{\text{trap, amostrado}}=\frac{4{,}81474125}{2{,}70}=1{,}783242685\\ \mathrm{m/s}.\n\nDetalhe: os termos das parcelas trapezoidais foram calculados explicitamente para cada trecho entre profundidades (mostrei as parcelas durante os cálculos).

Passo 5

Método 3 — média espacial sobre toda a profundidade total 0 a 3{,}00\\ \mathrm{m}, estimando os valores nas extremidades por extrapolação linear local.\n\nMotivação: como a vertical tem 3{,}00\\ \mathrm{m} e os pontos não alcançam exatamente 0 e 3{,}00, podemos estimar os valores nas extremidades extrapolando linearmente os dois pontos mais próximos de cada extremidade (procedimento simples e usual quando faltam pequenas sobras de amostragem).\n\nExtrapolei:\n- para h=0 usei os dois primeiros pontos e encontrei v(0)\approx 2{,}094915\\ \mathrm{m/s};\n- para h=3{,}00 usei os dois últimos pontos e encontrei v(3{,}00)\approx 1{,}0437375\\ \mathrm{m/s}.\n\nCom esses pontos acrescidos, integrei por trapézios de 0 a 3{,}00 e obtive integral total aproximada 5{,}24746575\\ \mathrm{m^2/s}. Assim a média sobre toda a profundidade é\n \bar v_{\text{trap, 0--3}}=\frac{5{,}24746575}{3{,}00}=1{,}74915525\\ \mathrm{m/s}.\n\nComentário: este método é uma aproximação razoável quando as sobras na extremidade são pequenas (aqui são 0{,}10\\ \mathrm{m} e 0{,}20\\ \mathrm{m}). Se você tiver que justificar no exame, diga que extrapolou linearmente as proximidades e integrou por trapézios.

Passo 6

Método 4 — converter a medição em movimento (varredura do molinete com velocidade vertical constante) em velocidade média.\n\nDados: durante a subida do molinete do fundo à superfície, foram contabilizadas 395 rotações em 100\\ \mathrm{s}.\n\nTeoria simples: o total de rotações dividido pelo tempo dá a frequência média durante a varredura:\n n_{\text{varredura}}=\frac{395}{100}=3{,}95\\ \mathrm{rps}.\n\nComo o molinete se deslocou com velocidade vertical constante, o tempo gasto em cada faixa de profundidade é proporcional ao comprimento: portanto a média temporal durante a varredura é a média espacial ao longo da profundidade (é exatamente o que queremos) — isto é, essa medição dá a média de n ponderada pelo comprimento.\n\nAplicando a calibração: \bar v_{\text{varredura}}=0{,}2610\cdot 3{,}95 + 0{,}003 = 1{,}03395\\ \mathrm{m/s}.\n\nObservação importante (explicação intuitiva): este valor é bem menor que os valores obtidos a partir das medições estacionárias. Isso pode indicar duas coisas possíveis: (1) erros instrumentais/condições diferentes ao executar a varredura, ou (2) talvez durante a varredura o molinete não tenha trabalhado com a mesma eficiência (controle, arrasto, orientação). Em termos puramente matemáticos, a medição em varredura fornece uma média válida (tempo-ponderada), então ela é uma estimativa legítima — mas difere da média espacial obtida das medidas pontuais, então a diferença precisa ser discutida na prova como possível fonte de erro experimental.\n\nNa resolução eu apresento o valor e explico por que é conceitualmente diferente dos anteriores.

Passo 7

Método 5 — ajuste linear (regressão linear) de v em função de h, e média analítica da reta no intervalo 0 a 3{,}00\\ \mathrm{m}.\n\nMotivação: muitas vezes o perfil vertical é aproximável por uma reta; fazer um ajuste pelo método dos mínimos quadrados dá uma função contínua v(h)=a+b h que pode ser integrada exatamente.\n\nFazendo a regressão (cálculo de mínimos quadrados com os seis pontos (h_i,v_i) ) obtive:\n v(h)\approx 2{,}19194 - 0{,}303594\,h.\n\nA média da reta no intervalo 0\le h\le 3 é simplesmente\n \bar v_{\text{reta}} = \frac{1}{3}\int_0^3 (2{,}19194 - 0{,}303594\,h)\,dh = a + \frac{3}{2}b.\nSubstituindo a e b:\n \bar v_{\text{reta}} \approx 2{,}19194 + 1{,}5(-0{,}303594) = 1{,}7365485\\ \mathrm{m/s}.\n\nComentário: esse resultado é muito próximo dos valores obtidos pelo trapézio sobre toda a profundidade, o que dá confiança nas estimativas (exceto na medição em varredura, que diverge).

Passo 8

Discussão comparativa (resumo interpretativo breve e incentivo):\n\n- Obtivemos várias estimativas legítimas da velocidade média vertical. Métodos diferentes ponderam de formas distintas (média simples das amostras, média espacial por integração, média temporal por varredura, ajuste por regressão).\n- A medição em varredura produziu um valor consideravelmente menor do que os outros métodos baseados nas medidas estacionárias; isso deve ser mencionado na prova como possível erro experimental ou condição de medida diferente.\n- Se a prova pedir “a velocidade média vertical” sem especificar o método, justifique qual média você escolheu e por quê (normalmente a média espacial sobre toda a profundidade é a mais adequada, por exemplo a média por integração/trapézios sobre 0 3{,}00\\ \mathrm{m}).\n\nAgora listo os valores finais obtidos pelos diferentes métodos para você conferir rapidamente.

Resposta

Média aritmética das velocidades pontuais: 1{,}7419125\\ \mathrm{m/s}.\nMédia por integração (trapézio) sobre o intervalo amostrado 0{,}10 2{,}80\\ \mathrm{m}: 1{,}783242685\\ \mathrm{m/s}.\nMédia por integração (trapézio) estimada sobre toda a profundidade 0 3{,}00\\ \mathrm{m} (extrapolando extremidades): 1{,}74915525\\ \mathrm{m/s}.\nMédia obtida pela varredura móvel (395 rotações em 100 s): 1{,}03395\\ \mathrm{m/s}.\nMédia obtida por ajuste linear e integração analítica no intervalo 0 3{,}00\\ \mathrm{m}: 1{,}7365485\\ \mathrm{m/s}.

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