Num ensaio para a determinação do peso específico e da umidade natural em laboratório foram obtidos os seguintes resultados:
- Massa da "bolinha" de solo: 44,99 \mathrm{~g}
- Massa da "bolinha" + parafina: 55,00 \mathrm{~g}
- Massa da "bolinha" + parafina em imersão: 22,01 \mathrm{~g}
- Massa do solo + cápsula: 55,24 \mathrm{~g}
- Massa do solo seco + cápsula: 41,27 \mathrm{~g}
- Massa da cápsula: 10,01 \mathrm{~g}
Considerando que a densidade da parafina é igual a 0,916 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, pede-se:
a) o volume de parafina;
b) o volume de solo;
c) o peso específico natural do solo;
d) a umidade natural do solo;
e) sabendo-se que a amostra de solo foi obtida abaixo do nível d’água no terreno, estimar seu peso especifico dos grãos.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado nos deu e o que pede. Lista das informações fornecidas:
  • Massa da “bolinha” de solo (massa do solo, em ar): 44,99\\ \mathrm{g}.
  • Massa da “bolinha” + parafina (em ar): 55,00\\ \mathrm{g}.
  • Massa da “bolinha” + parafina em imersão (leitura na balança quando submersa): 22,01\\ \mathrm{g}.
  • Massa do solo + cápsula (amostra para secagem, massa em ar): 55,24\\ \mathrm{g}.
  • Massa do solo seco + cápsula (após secagem): 41,27\\ \mathrm{g}.
  • Massa da cápsula: 10,01\\ \mathrm{g}.
  • Densidade da parafina: 0,916\\ \mathrm{g/cm^3}.
    Perguntas:
    a) Calcular o volume de parafina.
    b) Calcular o volume do solo (da bolinha).
    c) Calcular o peso específico natural do solo (ou seja, o peso por unidade de volume do solo em seu estado natural).
    d) Calcular a umidade natural do solo (teor de água % sobre a massa de sólidos).
    e) Sabendo que a amostra foi obtida abaixo do nível d’água (isto é, estava saturada), estimar o peso específico dos grãos (densidade relativa dos sólidos, G_s).

Passo 2

Primeira tarefa prática: separar massas úteis e calcular massas de água e massa seca da amostra usada para secagem (essa informação é necessária para a umidade e para estimar massa de sólidos). Vamos extrair:
  • Massa do solo (amostra para secagem), em ar: m_{w,amostra}=55,24-10,01. Explico: retiramos a massa da cápsula (é como se a cápsula só pesa sozinha).
    Calculemos:
m_{w,amostra}=55{,}24-10{,}01=45{,}23\\ \mathrm{g}.
  • Massa do solo seco (amostra) m_{d,amostra}=41{,}27-10{,}01:
m_{d,amostra}=41{,}27-10{,}01=31{,}26\\ \mathrm{g}.
  • Massa de água da amostra usada para secagem:
m_{water,amostra}=m_{w,amostra}-m_{d,amostra}=45{,}23-31{,}26=13{,}97\\ \mathrm{g}.
Comentário didático: esses passos são padrão em laboratório — sempre subtrair a massa do recipientes (cápsula) para obter a massa do solo bruto e do solo seco.

Passo 3

Calcular a massa de parafina que foi colocada na “bolinha” (é simplesmente a diferença entre a bolinha + parafina e a bolinha só, ambas em ar).
m_{p}=55{,}00-44{,}99=10{,}01\\ \mathrm{g}.
Explicação: massa da parafina é importante para achar o volume da parafina (usando sua densidade) e para subtrair do volume total medido por imersão.

Passo 4

Cálculo do volume da parafina — resposta da letra (a). Fórmula usada: V_p=\dfrac{m_p}{\rho_p}. Aqui:
  • m_p = massa da parafina em gramas.
  • \rho_p = densidade da parafina em \mathrm{g/cm^3}.
    Aplicando:
V_p=\frac{10{,}01}{0{,}916}=10{,}9288\\ \mathrm{cm^3}.
Arredondando de forma sensata (duas casas decimais, comum em laboratório):
V_p \approx 10{,}93\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 5

Agora encontramos o volume total do conjunto (solo + parafina) usando o princípio de Arquimedes. Explico a ideia: quando o objeto submerso é pesado, a diferença entre sua massa em ar e a leitura submersa é igual à massa da água deslocada, ou seja, à massa do volume de água igual ao volume do objeto. Assim:
  • Massa em ar do conjunto: m_{sp}=55{,}00\\ \mathrm{g}.
  • Massa aparente em imersão: m'_{sp}=22{,}01\\ \mathrm{g}.
    A massa de água deslocada (em gramas) é:
m_{agua\\ deslocada}=m_{sp}-m'_{sp}=55{,}00-22{,}01=32{,}99\\ \mathrm{g}.
Como densidade da água é 1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3} (assumimos água a temperatura próxima a laboratório), o volume total deslocado é numericamente igual:
V_{total}=32{,}99\\ \mathrm{cm^3}.
Comentário: esse volume é o volume externo do conjunto, ou seja, V_{total}=V_{solo}+V_{parafina}.

Passo 6

Com V_{total} e V_p podemos obter o volume do solo — resposta da letra (b). Fórmula:
V_{solo}=V_{total}-V_p.
Aplicando valores:
V_{solo}=32{,}99-10{,}9288=22{,}0612\\ \mathrm{cm^3}.
Arredondando:
V_{solo}\approx 22{,}06\\ \mathrm{cm^3}.
Explicação: esse é o volume externo da bolinha de solo, inclui vazios (poros) e grãos (ou seja, é o volume total da amostra que você mediu por imersão).

Passo 7

Agora vamos obter o peso específico natural do solo — letra (c). Primeiro devo explicar conceitos:
  • “Peso específico natural” normalmente refere-se ao peso por unidade de volume do solo em seu estado natural, isto é, unidade de peso (N) por volume (m^3), frequentemente dado em \mathrm{kN/m^3}.
  • Relação entre massa e peso: P = m\cdot g, com g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Podemos calcular primeiro a densidade natural (massa/volume) em \mathrm{g/cm^3} e depois converter para \mathrm{kN/m^3}.
Usaremos a massa da bolinha de solo em ar (que é a massa natural molhada dessa bolinha): m_{solo,bolinha}=44{,}99\\ \mathrm{g}.
A densidade natural (massa/volume) é:
\rho_{nat}=\frac{m_{solo,bolinha}}{V_{solo}}=\frac{44{,}99}{22{,}0612}=2{,}0390\\ \mathrm{g/cm^3}.
Conversão para \mathrm{kg/m^3}: 2{,}0390\\ \mathrm{g/cm^3}=2039\\ \mathrm{kg/m^3}.
Peso específico (unidade de peso por volume):
\gamma_{nat}=\rho_{nat}\cdot g =2039\cdot 9{,}81=20002{,}6\\ \mathrm{N/m^3}=20{,}00\\ \mathrm{kN/m^3}.
Interpretação prática: o solo, em seu estado natural (molhado), tem peso específico aproximadamente 20{,}00\\ \mathrm{kN/m^3}. (Também podemos apresentar a densidade em \mathrm{g/cm^3} que é 2{,}039\\ \mathrm{g/cm^3}.)

Passo 8

Cálculo da umidade natural do solo — letra (d). Conceito: umidade natural w é definida como a razão entre a massa de água presente na amostra e a massa de sólidos secos, normalmente expressa em \%:
w=\frac{m_{w,amostra}-m_{d,amostra}}{m_{d,amostra}}\times 100\%.
Nós já calculamos m_{w,amostra}=45{,}23\\ \mathrm{g} e m_{d,amostra}=31{,}26\\ \mathrm{g}. Aplicando:
w=\frac{45{,}23-31{,}26}{31{,}26}\times 100\%=\frac{13{,}97}{31{,}26}\times 100\%=44{,}69\%.
Comentário motivador: ótima notícia — a umidade é alta (≈45%), então não é um solo seco; isso explica a grande diferença entre massa natural e massa seca.

Passo 9

Estimativa do peso específico dos grãos (densidade relativa dos sólidos, G_s) — letra (e). Vou explicar a ideia e a fórmula que vou usar:
  • G_s é a razão entre a densidade dos grãos sólidos \rho_s e a densidade da água \rho_w. Como normalmente tomamos \rho_w=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}, temos G_s=\rho_s/1.
  • Para achar G_s precisamos da massa de sólidos (massa seca) e do volume ocupado apenas pelos sólidos V_s.
  • Como a amostra foi coletada abaixo do nível d’água, assumimos que os vazios estavam saturados (portanto o volume de água nos vazios é numericamente igual à massa de água presente, em \mathrm{g}, visto que \rho_w=1\\ \mathrm{g/cm^3}).
    Fórmulas e raciocínio:
V_{total}=V_s+V_w,
onde V_{total} é o volume total da amostra (já calculado: 22{,}0612\\ \mathrm{cm^3}) e V_w é o volume de água (igual à massa de água, em \mathrm{g}, já que \rho_w=1).
A massa sólida (massa dos grãos) é a massa seca da amostra: m_d=31{,}26\\ \mathrm{g}.
Logo:
V_s=V_{total}-V_w=V_{total}-m_{water}.
Onde m_{water}=13{,}97\\ \mathrm{g} (massa de água da amostra). Calculando:
V_s=22{,}0612-13{,}97=8{,}0912\\ \mathrm{cm^3}.
Então:
G_s=\frac{m_d}{\rho_w V_s}=\frac{31{,}26}{1\cdot 8{,}0912}=3{,}865.
Interpretação: obtemos G_s\approx 3{,}87. Observação didática: esse valor é numericamente alto (valores típicos para minerais comuns ficam em torno de 2{,}60 a 2{,}80), mas estamos apenas aplicando diretamente os dados experimentais fornecidos; se em um laboratório real esse resultado viesse muito fora do esperado seria hora de verificar possíveis erros experimentais (bolinha pode ter incluído fragmentos minerais muito densos, erro na leitura de imersão, excesso de parafina infiltrada, etc.). Aqui, seguimos os números dados e a metodologia correta.

Resposta

a) V_{parafina}=10{,}93\\ \mathrm{cm^3}
b) V_{solo}=22{,}06\\ \mathrm{cm^3}
c) Densidade natural \rho_{nat}=2{,}039\\ \mathrm{g/cm^3}, peso específico natural \gamma_{nat}\approx 20{,}00\\ \mathrm{kN/m^3}
d) Umidade natural w=44{,}69\%
e) Peso específico dos grãos (gravidade específica) G_s\approx 3{,}87

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