4.10 Uma partícula móvel de massa m_{1} colide elasticamente com um alvo de massa m_{2} inicialmente em repouso. Se a colisão for frontal, mostre que a partícula incidente perde uma fração 4 \mu / m de sua energia cinética inicial ( \mu= massa reduzida; m=m_{1}+m_{2} ).

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão elástica unidimensional frontal entre uma partícula de massa m_{1} com velocidade inicial v_{1i} e um alvo de massa m_{2} inicialmente em repouso. O objetivo é usar as leis de conservação de momento linear e de energia cinética para calcular a fração da energia cinética inicial de m_{1} que se perde no choque. Denotamos a massa reduzida por
\mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
e a soma das massas por
m = m_{1}+m_{2}.

Passo 2

Em colisão elástica frontal valem as duas conservações:
Conservação do momento linear
m_{1}v_{1i} + m_{2}\cdot 0 = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f},
Conservação da energia cinética
\tfrac12 m_{1}v_{1i}^{2} + 0 = \tfrac12 m_{1}v_{1f}^{2} + \tfrac12 m_{2}v_{2f}^{2}.
Solvendo esse sistema (ou usando resultados padrões), obtemos as velocidades finais:
v_{1f} = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}, \quad v_{2f} = \frac{2\,m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\,v_{1i}.

Passo 3

Agora calculamos a energia cinética de m_{1} antes e depois da colisão:
K_{1i} = \frac12\,m_{1}\,v_{1i}^{2},
K_{1f} = \frac12\,m_{1}\,v_{1f}^{2} = \frac12\,m_{1}\,\biggl(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\biggr)^{2} v_{1i}^{2}.

Passo 4

A perda de energia cinética de m_{1} é
\Delta K_{1} = K_{1i} - K_{1f} = \frac12\,m_{1}\,v_{1i}^{2} \;\Biggl[1 - \biggl(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\biggr)^{2}\Biggr].
Como
1 - \Bigl(\tfrac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigr)^{2} = \frac{(m_{1}+m_{2})^{2} - (m_{1}-m_{2})^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} = \frac{4\,m_{1}\,m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}},
segue
\Delta K_{1} = \frac12\,m_{1}\,v_{1i}^{2}\;\frac{4\,m_{1}\,m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} = \frac{2\,m_{1}^{2}\,m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,v_{1i}^{2}.

Passo 5

Dividindo a perda \Delta K_{1} pela energia inicial K_{1i}=\tfrac12\,m_{1}\,v_{1i}^{2}, obtemos a fração perdida:
\frac{\Delta K_{1}}{K_{1i}} = \frac{\displaystyle \frac{2\,m_{1}^{2}\,m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\,v_{1i}^{2}} {\displaystyle \frac12\,m_{1}\,v_{1i}^{2}} = \frac{4\,m_{1}\,m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} = \frac{4\,\mu}{m}.

Resposta

A partícula incidente perde uma fração \displaystyle \frac{4\,\mu}{m} de sua energia cinética inicial.

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