4.8 Mostre que a energia cinética de um sistema de duas partículas é
\frac{1}{2} m v_{c m}^{2}+\frac{1}{2} \mu v^{2}

Passo 1

Resumindo, temos duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, deslocamentos \mathbf r_{1} e \mathbf r_{2} e velocidades \mathbf v_{1} e \mathbf v_{2}. Queremos mostrar que a energia cinética total
T = \tfrac12\,m_{1}\mathbf v_{1}^{2} + \tfrac12\,m_{2}\mathbf v_{2}^{2}
pode ser escrita como
\tfrac12\,m\,\mathbf v_{\mathrm{cm}}^{2} \;+\;\tfrac12\,\mu\,\mathbf v^{2}
onde m = m_{1}+m_{2}, \mu = \frac{m_{1}m_{2}}{m}, \mathbf v_{\mathrm{cm}} = \frac{m_{1}\mathbf v_{1}+m_{2}\mathbf v_{2}}{m} é a velocidade do centro de massa e \mathbf v = \mathbf v_{1}-\mathbf v_{2} é a velocidade relativa. Para isso, vamos reescrever \mathbf v_{1} e \mathbf v_{2} em função de \mathbf v_{\mathrm{cm}} e \mathbf v e depois expandir T.

Passo 2

Definimos
\mathbf v_{\mathrm{cm}} = \frac{m_{1}\mathbf v_{1} + m_{2}\mathbf v_{2}}{m}, \qquad \mathbf v = \mathbf v_{1}-\mathbf v_{2}.
Resolvendo para \mathbf v_{1} e \mathbf v_{2}, obtemos
\mathbf v_{1} = \mathbf v_{\mathrm{cm}} + \frac{m_{2}}{m}\,\mathbf v,
\mathbf v_{2} = \mathbf v_{\mathrm{cm}} - \frac{m_{1}}{m}\,\mathbf v.

Passo 3

Substituímos no total da energia cinética:
T = \tfrac12\,m_{1}\Bigl(\mathbf v_{\mathrm{cm}} + \tfrac{m_{2}}{m}\mathbf v\Bigr)^{2} + \tfrac12\,m_{2}\Bigl(\mathbf v_{\mathrm{cm}} - \tfrac{m_{1}}{m}\mathbf v\Bigr)^{2}.
Ao expandir cada quadrado, surge um termo em \mathbf v_{\mathrm{cm}}^{2}, um termo misto \mathbf v_{\mathrm{cm}}\!\cdot\!\mathbf v e um termo em \mathbf v^{2}. Os termos mistos cancelam porque
m_{1}\tfrac{m_{2}}{m} - m_{2}\tfrac{m_{1}}{m} = 0,
e os coeficientes de \mathbf v_{\mathrm{cm}}^{2} e de \mathbf v^{2} ficam, respectivamente,
m_{1}+m_{2} = m, \qquad m_{1}\Bigl(\tfrac{m_{2}}{m}\Bigr)^{2} + m_{2}\Bigl(\tfrac{m_{1}}{m}\Bigr)^{2} = \frac{m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})}{m^{2}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m} = \mu.

Passo 4

Concluímos assim que
T = \tfrac12\,m\,\mathbf v_{\mathrm{cm}}^{2} \;+\;\tfrac12\,\mu\,\mathbf v^{2},
isto é, a energia cinética total separa-se na energia do movimento do centro de massa mais a energia do movimento relativo.

Resposta

T = \frac12\,m\,v_{\mathrm{cm}}^{2} + \frac12\,\mu\,v^{2}.

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