(10 pontos) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- O integrando é a função
.\n - Os limites de integração são
e .\n
Pergunta clara: qual é o valor numérico da integral?
Passo 2
Vou usar o teorema fundamental do cálculo: para calcular
basta encontrar uma primitiva
de
(ou seja,
) e avaliar
.\n
Regra básica que usaremos (regra do poder): para ,
Regra básica que usaremos (regra do poder): para
Também usamos que a integral de uma soma é a soma das integrais e que constantes saem corretamente da integral. Vou aplicar isso termo a termo no polinômio.
Passo 3
Calculando a primitiva
termo a termo para
:\n
- Para
, pela regra do poder com :
- Para
, com :
- Para
(constante):
Somando os termos, uma primitiva é
Passo 4
Avalio
no limite superior
. Substituindo
em cada termo:
Vou simplificar em passos:
. Então
Passo 5
Avalio
no limite inferior
. Substituindo
:
Calcule cada potência:
e
. Então
Simplifico em etapas:
. Então
Passo 6
Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo:
Substituindo os valores que obtivemos:
Simplificando a fração:
Passo 7
Verificação alternativa (atalho pela simetria, só para fixar a ideia): separamos
em parte ímpar e parte par.\n
- O termo
é função ímpar (pois ), então por simetria.\n - Os termos
e são pares (constante e são pares), então
Calculando diretamente:
e
. Soma:
, que confirma o resultado anterior.