(10 pontos) Calcule \int_{-1}^{1}\left(-x^{3}+2 x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \int_{-1}^{1}\left(-x^{3}+2 x^{2}-1\right) d x.\n
Informações dadas:\n
  • O integrando é a função f(x) = -x^{3}+2 x^{2}-1.\n
  • Os limites de integração são a=-1 e b=1.\n
    Pergunta clara: qual é o valor numérico da integral \int_{-1}^{1}\left(-x^{3}+2 x^{2}-1\right) d x?

Passo 2

Vou usar o teorema fundamental do cálculo: para calcular \int_{a}^{b} f(x)\,dx basta encontrar uma primitiva F(x) de f(x) (ou seja, F'(x)=f(x)) e avaliar F(b)-F(a).\n
Regra básica que usaremos (regra do poder): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Também usamos que a integral de uma soma é a soma das integrais e que constantes saem corretamente da integral. Vou aplicar isso termo a termo no polinômio.

Passo 3

Calculando a primitiva F(x) termo a termo para f(x)=-x^{3}+2x^{2}-1:\n
  • Para -x^{3}, pela regra do poder com n=3:
\int -x^{3}\,dx = -\frac{x^{4}}{4}.
  • Para 2x^{2}, com n=2:
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2x^{3}}{3}.
  • Para -1 (constante):
\int -1\,dx = -x.
Somando os termos, uma primitiva é
F(x) = -\frac{x^{4}}{4} + \frac{2x^{3}}{3} - x.

Passo 4

Avalio F no limite superior x=1. Substituindo x=1 em cada termo:
F(1) = -\frac{1^{4}}{4} + \frac{2\cdot1^{3}}{3} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 1.
Vou simplificar em passos: \frac{2}{3}-1=\frac{2}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{1}{3}. Então
F(1) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{12}.

Passo 5

Avalio F no limite inferior x=-1. Substituindo x=-1:
F(-1) = -\frac{(-1)^{4}}{4} + \frac{2(-1)^{3}}{3} - (-1).
Calcule cada potência: (-1)^{4}=1 e (-1)^{3}=-1. Então
F(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{2(-1)}{3} + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1.
Simplifico em etapas: 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}. Então
F(-1)=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 6

Agora uso o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{1}\left(-x^{3}+2 x^{2}-1\right) dx = F(1)-F(-1).
Substituindo os valores que obtivemos:
F(1)-F(-1) = -\frac{7}{12} - \frac{1}{12} = -\frac{8}{12}.
Simplificando a fração:
-\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}.

Passo 7

Verificação alternativa (atalho pela simetria, só para fixar a ideia): separamos f(x) em parte ímpar e parte par.\n
  • O termo -x^{3} é função ímpar (pois (-x)^{3} = -x^{3}), então \int_{-1}^{1} -x^{3}\,dx = 0 por simetria.\n
  • Os termos 2x^{2} e -1 são pares (constante e x^{2} são pares), então
\int_{-1}^{1}(2x^{2}-1)\,dx = 2\int_{0}^{1}2x^{2}-1\,dx = \text{(ou calcular diretamente)}.
Calculando diretamente: \int_{-1}^{1}2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3} e \int_{-1}^{1}-1\,dx = -2. Soma: \frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}, que confirma o resultado anterior.

Resposta

-\frac{2}{3}

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