Calcule as integrais:
\int \frac{x^{2}+4}{x^{4}-4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}+4}{x^{4}-4x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = x^{2}+4, \qquad \text{denominador} = x^{4}-4x^{2}.
Observações imediatas (apenas listando fatos, sem resolver ainda):
x^{4}-4x^{2}=x^{2}(x^{2}-4)=x^{2}(x-2)(x+2).
A integral é de uma função racional (fração de polinômios) cujo numerador tem grau menor que o denominador (grau 2 contra grau 4). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Estratégia escolhida (apenas explicando o método, sem cálculos finais): para integrar uma função racional própria (numerador de grau menor que o denominador) com fatores lineares simples e um fator quadrático em potência, o procedimento padrão é fazer decomposição em frações parciais. Aqui o fator x^{2} no denominador gera termos do tipo \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}} e os fatores lineares (x-2) e (x+2) geram termos \frac{C}{x-2} e \frac{D}{x+2}. Assim assumimos a forma:
\frac{x^{2}+4}{x^{2}(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}.
Agora vamos determinar A,B,C,D.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade por x^{2}(x-2)(x+2) para eliminar denominadores. Isso dá a igualdade polinomial
x^{2}+4 = A\;x(x-2)(x+2) + B\;(x-2)(x+2) + C\;x^{2}(x+2) + D\;x^{2}(x-2).
Explico: ao multiplicar, cada termo da direita fica com o fator que sobrou quando se cancela o denominador. Agora vamos usar valores especiais de x que anulam fatores para achar constantes rapidamente.

Passo 4

Substituímos x=0 (porque zera os termos com x e elimina A,C,D parcialmente):
\text{em }x=0:\quad 0^{2}+4 = B\,(0-2)(0+2) \Rightarrow 4 = B\cdot(-4) \Rightarrow B = -1.
Substituímos x=2 (anula o fator (x-2), elimina A e B):
\text{em }x=2:\quad 2^{2}+4 = C\cdot 2^{2}(2+2) \Rightarrow 8 = C\cdot 4\cdot 4 = 16C \Rightarrow C = \tfrac{1}{2}.
Substituímos x=-2 (anula (x+2), elimina A e B):
\text{em }x=-2:\quad (-2)^{2}+4 = D\cdot (-2)^{2}(-2-2) \Rightarrow 8 = D\cdot 4\cdot(-4) = -16D \Rightarrow D = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Ainda falta A. Podemos obtê‑lo comparando coeficientes ou usando um valor de x diferente; é mais rápido comparar o coeficiente de x na identidade polinomial. Primeiro expandimos os termos para identificar o coeficiente de x.
Expansão breve (só os coeficientes que precisamos):
  • A\;x(x-2)(x+2)=A(x^{3}-4x)=A x^{3}-4A x.
  • B\;(x-2)(x+2)=B(x^{2}-4)=B x^{2}-4B.
  • C\;x^{2}(x+2)=C(x^{3}+2x^{2})=C x^{3}+2C x^{2}.
  • D\;x^{2}(x-2)=D(x^{3}-2x^{2})=D x^{3}-2D x^{2}.
Somando, o coeficiente do termo em x é apenas -4A (porque os outros não têm termo em x). Na igualdade polinomial o lado esquerdo x^{2}+4 tem coeficiente de x igual a 0. Assim
-4A = 0 \Rightarrow A = 0.

Passo 6

Agora já temos todas as constantes:
A=0,\quad B=-1,\quad C=\tfrac{1}{2},\quad D=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a decomposição em frações parciais fica
\frac{x^{2}+4}{x^{2}(x-2)(x+2)} = \frac{0}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1/2}{x-2} - \frac{1/2}{x+2}.
Simplificando:
\frac{x^{2}+4}{x^{4}-4x^{2}} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Vou lembrar as fórmulas de integração importantes e explicar:
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. No nosso caso usamos n=-2.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a|+C (porque substituição u=x-a \int u^{-1}du).
Aplicando:
\int -\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\int x^{-2}\,dx = -\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) = \frac{1}{x}.
E
\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x-2|,\qquad \int -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x+2|.
Somando as primitivas:
\int \frac{x^{2}+4}{x^{4}-4x^{2}}\,dx = \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln|x-2| - \frac{1}{2}\ln|x+2| + C.

Passo 8

Podemos combinar os logaritmos num único logaritmo:
\frac{1}{2}\ln|x-2| - \frac{1}{2}\ln|x+2| = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|.
Portanto a primitiva final fica
\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.
Pequeno lembrete prático: em prova, ao ver uma fração racional com fatores lineares e potências, pense em decomposição em frações parciais; escolha valores que zere fatores para achar constantes rapidamente e use comparação de coeficientes quando necessário.

Resposta

\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C

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