Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observações imediatas (apenas listando fatos, sem resolver ainda):
A integral é de uma função racional (fração de polinômios) cujo numerador tem grau menor que o denominador (grau
contra grau
). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Estratégia escolhida (apenas explicando o método, sem cálculos finais): para integrar uma função racional própria (numerador de grau menor que o denominador) com fatores lineares simples e um fator quadrático em potência, o procedimento padrão é fazer decomposição em frações parciais. Aqui o fator
no denominador gera termos do tipo
e os fatores lineares
e
geram termos
e
. Assim assumimos a forma:
Agora vamos determinar
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da identidade por
para eliminar denominadores. Isso dá a igualdade polinomial
Explico: ao multiplicar, cada termo da direita fica com o fator que sobrou quando se cancela o denominador. Agora vamos usar valores especiais de
que anulam fatores para achar constantes rapidamente.
Passo 4
Substituímos
(porque zera os termos com
e elimina
parcialmente):
Substituímos
(anula o fator
, elimina
e
):
Substituímos
(anula
, elimina
e
):
Passo 5
Ainda falta
. Podemos obtê‑lo comparando coeficientes ou usando um valor de
diferente; é mais rápido comparar o coeficiente de
na identidade polinomial. Primeiro expandimos os termos para identificar o coeficiente de
.
Expansão breve (só os coeficientes que precisamos):
-
. -
. -
. -
.
Somando, o coeficiente do termo em
é apenas
(porque os outros não têm termo em
). Na igualdade polinomial o lado esquerdo
tem coeficiente de
igual a
. Assim
Passo 6
Agora já temos todas as constantes:
Portanto a decomposição em frações parciais fica
Simplificando:
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Vou lembrar as fórmulas de integração importantes e explicar:
-
para . No nosso caso usamos . -
(porque substituição dá ).
Aplicando:
E
Somando as primitivas:
Passo 8
Podemos combinar os logaritmos num único logaritmo:
Portanto a primitiva final fica
Pequeno lembrete prático: em prova, ao ver uma fração racional com fatores lineares e potências, pense em decomposição em frações parciais; escolha valores que zere fatores para achar constantes rapidamente e use comparação de coeficientes quando necessário.